第二节 向量基本定理与向量的坐标(课时训练)-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练(解析版)

3.0 envi 2025-03-06 4 4 379.34KB 7 页 3知币
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【课时训练】
第二节平面向量的基本定理及坐标表示
1．向量 a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若 c＝λa＋μb(λ，μR)∈，则＝(　　)
A．2　　 B．4　　　
C．　　 D．
【解析】　以向量 a和b的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为
1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)．
所以 a＝AO＝(－1,1)，b＝OB＝(6,2)，c＝BC＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
∴解得∴＝4．
【答案】 B
2．已知 M(3，－2)，N(－5，－1)，且|MP|＝|MN|，则 P点的坐标为(　　)
A．(－8,1)　　 B．
C．或(－8,1)　　 D．或
【解析】　设 P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)，而MN＝(－8,1)＝，当MP＝MN时，有解得所以 P点坐
标为．
同理当MP＝－MN时，可解得 P．故选 D．
【答案】 D
3．已知△ABC 的三个顶点 A，B，C的坐标分别为(0，1)，(，0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点 P满
足|CP|＝1，则|OA＋OB＋OP|的最小值是(　　)
A．－1 B．－1
C．＋1 D．＋1
【解析】 设点 P(x，y)，动点 P满足|CP|＝1可得 x2＋(y＋2)2＝1．根据OA＋OB＋OP的坐标为(＋x，y
＋1)，可得|OA＋OB＋OP|＝，表示点 P(x，y)与点 Q(－，－1)之间的距离．显然点 Q在圆 C：x2＋(y＋2)2＝
1的外部，求得 QC＝，|OA＋OB＋OP|的最小值为 QC－1＝－1，故选 A．
【答案】 A
4．在△ABC 中，BC＝7，AC＝6，cos C＝．若动点 P满足AP＝(1－λ)AB＋AC(λ∈R)，则点 P的轨迹
与直线 BC，AC 所围成的封闭区域的面积为(　　)
A．5 B．10
C．2 D．4
【解析】 设AD＝AC，因为AP＝(1－λ)AB＋AC＝(1－λ)AB＋λAD，所以 B，D，P三点共线．所以 P
点轨迹为直线 BC．在△ABC 中，BC＝7，AC＝6，cos C＝，所以 sin C＝，所以 S△ABC＝×7×6×＝15，所以
S△BCD＝S△ABC＝5．
【答案】 A
5．设两个向量 a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中 λ，m，α为实数，若 a＝2b，则的取值范围是(　　)
A．[－6，1] B．[4，8]
C．(－∞，1] D．[－1，6]
【解析】 由 a＝2b，得所以又 cos2α＋2sin α＝－sin2 α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α
＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m≤2，将 λ2＝(2m－2)2代入上式，得－2≤(2m－2)2－m≤2，得≤m≤2，所以＝＝2
－∈[－6，1]．
【答案】 A
6．给定两个长度为 1的平面向量OA和OB，它们的夹角为 120°．如图所示，点 C在以 O为圆心的弧
AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中 x，y∈R，则 x＋y的最大值是(　　)
A．3 B．4 C．2 D．8
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B(cos 120°，sin 120°)，则 B．
设∠AOC＝α，则OC＝(cos α，sin α)．
∵OC＝xOA＋yOB＝(x，0)＋＝(cos α，sin α)，
∴∴∴x＋y＝sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．
∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°．∴当 α＝60°时，x＋y有最大值 2．
【答案】 C
7．如图，原点 O是△ABC 内一点，顶点 A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，|OA|＝2，|OB|＝
1，|OC|＝3，若OC＝λOA＋μOB，则＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 由题可得 A(2，0)，B(－，)，C(－，－)．因为OC＝λOA＋μOB，所以由向量相等的坐标表
示可得解得所以＝，故选 D．
【答案】 D
8．在△ABC 中，点 D在线段 BC 的延长线上，且BC＝3CD，点 O在线段 CD 上(与点 C，D不重合)，
若AO＝xAB＋(1－x)AC，则 x的取值范围是(　　)
A．　 B．
C． D．
【解析】 法一：依题意，设BO＝λBC，其中 1＜λ＜，则有AO＝AB＋BO＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－
AB)＝(1－λ)AB＋λAC．又AO＝xAB＋(1－x)AC，且AB，AC不共线，于是有 x＝1－λ∈，即 x的取值范围是，
选D．
法二：∵AO＝xAB＋AC－xAC，∴AO－AC＝x(AB－AC)，即CO＝xCB＝－3xCD，∵O在线段 CD(不
含C，D两点)上，∴0＜－3x＜1，∴－＜x＜0．
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