第八章平面向量章末综合检测-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练(解析版)

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第八章平面向量

章末综合检测

一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．在平行四边形 ABCD 中，AC 与BD 交于点 O，E是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F．

若AC＝a，BD＝b，则AF等于(　　)

A．a＋b　　　　　　　　 B．a＋b

C．a＋b D．a＋b

【解析】　如图所示，E为OD 中点，

则BE＝3DE．因为 AB∥CD，

则AB＝3DF，OB－OA＝3AF－3AD，

－BD＋AC＝3AF－3(OD－OA)，

3AF＝－BD＋AC＋3×BD＋3×AC，

3AF＝2AC＋BD，则AF＝AC＋BD，

即AF＝a＋b．故选 B．

【答案】　B

2．在直角三角形 ABC 中，∠C＝，AB＝4，AC＝2，若＝，则·＝(　　)

A．－18 B．－6

C．18 D．6

【解析】方法一：由∠C＝，AB＝4，AC＝2，得 CB＝2，·＝0．·＝(＋)·＝·＋·＝(－)·＝2＝18，故选

C．

方法二：如图，以 C为坐标原点，CA，CB 所在的直线分别为 x，y轴，建立平面直角坐标系，则

C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)．由题意得∠CBA＝，又＝，所以 D＝(－1，3)，则·＝(－1，3)·(0，2)＝18，故

选C．

方法三：因为∠C＝，AB＝4，AC＝2，所以 CB＝2，所以在上的投影为 2，又＝，所以在上的投影为

×2＝3，则在上的投影为 3，所以·＝||·||cos〈，〉＝2×3＝18，故选 C．

【答案】 C

3．已知点 O是锐角三角形 ABC 的外心，若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则(　　)

A．m＋n≤－2 B．－2≤m＋n<－1

C．m＋n<－1 D．－1<m＋n<0

【解析】　因为点 O是锐角三角形 ABC 的外心，所以 O在三角形内部，则 m<0，n<0．不妨设锐角三

角形 ABC 的外接圆的半径为 1，因为OC＝mOA＋nOB，所以OC2＝m2OA2＋n2OB2＋2mnOA·OB．设向量

OA，OB的夹角为 θ，则 1＝m2＋n2＋2mncos θ<m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2，所以 m＋n<－1或m＋n>1(舍去)，

所以 m＋n<－1，故选 C．

【答案】 C

4．已知平面向量 a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值与最小值的

和为(　　)

A．0 B． C． D．

【解析】 ∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，即 a2＝2a·b，又|a|＝|b|＝1，

∴a·b＝，a与b的夹角为 60°．

设OA＝a，OB＝b，OC＝c，以 O为坐标原点，OB的方向为 x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标

系，则 a＝(，)，b＝(1，0)．

设c＝(x，y)，则 c－2a＝(x－1，y－)，c－b＝(x－1，y)．

又∵(c－2a)·(c－b)＝0，∴(x－1)2＋y(y－)＝0．即(x－1)2＋(y－)2＝，

∴点 C的轨迹是以点 M(1，)为圆心，为半径的圆．

又|c|＝表示圆 M上的点与原点 O(0，0)之间的距离，所以|c|max＝|OM|＋，|c|min＝|OM|－，∴|c|max＋|c|min

＝2|OM|＝2×＝，故选 D．

【答案】 D

5．已知 a

，

b是互相垂直的单位向量，若向量 c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)

A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]

C．[1，＋1] D．[1，＋2]

【解析】以 a和b分别为 x轴和 y轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则 a＝(1，0)，b＝(0，1)，

设c＝(x，y)，则 c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1．即(x，y)是以点 M(1，1)

为圆心，1为半径的圆上的点，而|c|＝，所以|c|可以理解为圆 M上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|

OM|－r≤|c|≤|OM|＋r，即|c|∈[－1，＋1]．

【答案】 A

6．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段 AB

分为两线段 AC，CB，合得其中较长的一段 AC 是全长与另一段 CB 的比例中项，即满足＝＝，后人把这个

数称为黄金分割数，把点 C称为线段 AB 的黄金分割点，在△ABC 中，若点 P，Q为线段 BC 的两个黄金分

割点，设APx1AB＋y1AC，AQ＝x2AB＋y2AC，则＋＝(　　)

A． B．2

C． D．＋1

【解析】由题意，AP＝AB＋BP＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)

＝AB＋AC＝AB＋AC，

同理，AQ＝AB＋BQ＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC．

所以 x1＝y2＝，x2＝y1＝．所以＋＝＋＝．

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