第14讲 拓展七：极值点偏移问题 (精讲）（原卷版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 14 讲 拓展七：极值点偏移问题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
高频考点二：含参数的极值点偏移问题
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
第三部分：高考真题感悟
1、极值点偏移的含义
函数 满足对于定义域内任意自变量 都有 ，则函数 关于直线 对
称．可以理解为函数 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 为单峰函数，则 必为
的极值点，如图(1)所示，函数 图象的顶点的横坐标就是极值点 ；
①若 的两根为 ， ，则刚好满足 ，则极值点在两根的正中间，也就是极值点
没有偏移（如图 1）．
　　　　　　
　 　　
若 ，则极值点偏移．若单峰函数 的极值点为 ，且函数 满足定义域 左
侧的任意自变量 都有 或 ，则函数 极值点 左右侧变化快慢
不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数 定义域内任意不同的实数 ， ，满足 ，则
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
与极值点 必有确定的大小关系：若 ，则称为极值点左偏如图（2）；若
，则称为极值点右偏如图（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法
2.1 对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或
；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
(6)转化，即利用函数 f(x)的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关系，进
而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用 表示)表示两个极值点，即
，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.4．对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
2.5 指数不等式法
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
3、极值点偏移问题的类型
（1）加法型 （2）减法型 （3）平方型 （4）乘积型 （5）商型
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
①对称化构造法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 的极值.
(2)若 ， ，证明： .
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ．
（1）当 有极值时，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若在 定义域内存在两实数 满足 且 ，证明： ．
3．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ．
第二部分：典 型 例 题 剖 析
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