第13讲 拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用 (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 13 讲 拓展六：泰勒展开式与超越不等
式在导数中的应用(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：利用超越不等式比较大小
高频考点二：利用对数型超越放缩证明不等式
高频考点三：利用指数型超越放缩证明不等式
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是将一个在 处具有 阶导数的函数利用关于 的 次多项式来逼近函数的方法.
若函数 在包含 的某个闭区间 上具有 阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对
闭区间 上任意一点 ，成立下式：
其中： 表示 在 处的 阶导数，等号后的多项式称为函数 在 处的泰勒展开式，
剩余的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小量.
2、麦克劳林(Maclaurin)公式
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取 的特殊结果，由于麦克劳林公式使用
方便，在高考中经常会涉及到.
3、常见函数的麦克劳林展开式：
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
4.1 对数型超越放缩： （ ）
上式（1）中等号右边只取第一项得： 结论①
用 替换上式结论①中的 得： 结论②
对于结论②左右两边同乘“ ”得 ，用 替换“ ”得：
（ ） 结论③
4.2 指数型超越放缩： （ ）
上式（2）中等号右边只取前 2项得： 结论①
用 替换上式结论①中的 得： 结论②
当 时，对于上式结论② 结论③
当 时，对于上式结论② 结论④
高频考点一：利用超越不等式比较大小
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ，则 的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
先用导数证明这两个重要的不等式
①，当且仅当 时取“=”
，函数递减， 函数递增
故 时函数取得最小值为 0
故 ，当且仅当 时取“=”
②，当且仅当 时取“=”
，函数递增， 函数递减，
故 时函数取得最大值为 0，
故 ，当且仅当 时取“=”
故
故选：C
2．（2021·安徽·毛坦厂中学高三阶段练习（理））设 ， ， ，（其中自然对数的底
数 ）则（）
A．B．C．D．
【答案】D
第二部分：典 型 例 题 剖 析
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