第11讲 拓展四：导数中的隐零点问题 (精讲+精练）（原卷版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 11 讲 拓展四：导数中的隐零点问题
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
第三部分：第 11 讲 拓展四：导数中的隐零点问题 （精练）
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数
f(x)
，导函数方程
f ' (x)=0
的根存在，却无法求出，设方程
f ' (x)=0
的根为
x0
，
则有：
①关系式
f ' (x0)=0
成立；②注意确定
x0
的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数
f(x , a )
，其中
为参数，导函数方程
f ' (x , a )=0
的根存在，却无法求出，设方程
f ' (x)=0
的根为
x0
，则有
① 有关系式
f ' (x0)=0
成立，该关系式给出了
x0, a
的关系；②注意确定
x0
的合适范围，往往和
a
的
范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间
内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 .
① 若 ，则 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若 ，那么 在 不一定有零点
③ 若 在 有零点，则 不一定必须异号
(3)若 在 上是单调函数且连续，则 在 的零点唯一.
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线经过点 ，求实数 a的值；
(2)若对任意 ，都有 （e为自然对数的底），求证： ．
2．（2022·甘肃·一模（文））已知函数 ， ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)当 时，关于 x的不等式 恒成立，求实数 b的取值范围．
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数 （ 为自然对数的底数）.
(1)求 的极值；
(2)（i）证明∶ 与 有相同的零点；
（ii）若 恒成立，求整数 a的最大值.
4．（2022·四川南充·二模（理））已知 .
(1)求 在 的切线方程；
(2)求证： 仅有一个极值；
(3)若存在 ，使 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
5．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求证： ．
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 ．
(1)当 时，若 满足 ，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若 恒成立，试比较 a和1.5625 的大小．
参考数据： ， ， ， ．
7．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）已知函数 的图象在点 处的切线
方程为 ．
(1)判断函数 的单调性．
(2)证明：当 时， ．
8．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））已知函数 ．
(1)讨论 的单调性．
(2)当 时，证明： 对 恒成立．
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