第11讲 拓展四：导数中的隐零点问题 (精讲+精练）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 11 讲 拓展四：导数中的隐零点问题
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
第三部分：第 11 讲 拓展四：导数中的隐零点问题 （精练）
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数
f(x)
，导函数方程
f ' (x)=0
的根存在，却无法求出，设方程
f ' (x)=0
的根为
x0
，
则有：
①关系式
f ' (x0)=0
成立；②注意确定
x0
的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数
f(x , a )
，其中
为参数，导函数方程
f ' (x , a )=0
的根存在，却无法求出，设方程
f ' (x)=0
的根为
x0
，则有
① 有关系式
f ' (x0)=0
成立，该关系式给出了
x0, a
的关系；②注意确定
x0
的合适范围，往往和
a
的
范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间
内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 .
① 若 ，则 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若 ，那么 在 不一定有零点
③ 若 在 有零点，则 不一定必须异号
(3)若 在 上是单调函数且连续，则 在 的零点唯一.
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线经过点 ，求实数 a的值；
(2)若对任意 ，都有 （e为自然对数的底），求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)
，所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为切线经过点 ，所以
解得 ．
(2)
设 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 在 上递增，
所以当 时， ，当 时，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
令 ，则
所以 在 递减，
因为 ，
所以 ，所以 ．
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是
第二部分：典 型 例 题 剖 析
构造函数 ，利用导数求得 ，再利用
函数 的单调性结合 可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题
2．（2022·甘肃·一模（文））已知函数 ， ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)当 时，关于 x的不等式 恒成立，求实数 b的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】
(1)
的定义域为 ，求导得： ，
若 时，则 ，此时 在 单调递增；
若 时，则当 时 ， 在 单调递减，
当 时， ，f(x)在 单调递增.
(2)
当 时， ，
由题意 在 上恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上递增，
又 ，所以 在 上有唯一零点 ，
由 得 ，
当 时， 即 ， 单调递减； 时， 即 ， 单调
递增，所以 为 在定义域内的最小值.
即
令 ，则方程 等价于 ，
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