第10讲 高考难点突破二：圆锥曲线的综合问题（定值问题） (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第10 讲 高考难点突破二：圆锥曲线的综
合问题（定值问题）(精讲）
目录
题型一：椭圆中的定值问题
角度 1：椭圆中的定值问题
角度 2：椭圆中的定直线问题
题型二：双曲线中的定值问题
角度 1：双曲线中的定值问题
角度 2：双曲线中的定直线问题
题型三：抛物线中的定值问题
角度 1：抛物线中的定值问题
角度 2：抛物线中的定直线问题
题型一：椭圆中的定值问题
角度 1：椭圆中的定值问题
典型例题
例题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离
心率 ， 为椭圆上一动点， 面积的最大值为 2.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ， 分别是椭圆 长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 交椭圆于点 ， 为坐标
原点.证明： 为定值.
【答案】(1)
(2) 为定值 4，证明见解析
(1)当P为短轴端点时， 的面积最大， ，故 解得 ，故椭圆 的方
程为 .
(2)由（1）知， ,设直线 ， ,，
联立 整理得 ，
由 得 ， ，
,，
故 为定值 4.
例题 2．（2022·云南玉溪·高二期末）已知点 ，圆 ： ，点 是圆 上的动点，
的垂直平分线与 交于点 ，记 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)设经过点 的直线 与 交于 ， 两点，求证： 为定值，并求出该定值．
【答案】(1) (2)证明见解析，定值为
(1)解：圆 的圆心为 ，半径 ，
由点 在 的垂直平分线上，得 ，
所以 ，
所以 的轨迹是以 A， 为焦点的椭圆， ， ，
所以 ， ， ，
所以 的方程为 ；
(2)证明：①当直线 的斜率不存在时，易知 ，
② 当直线 的斜率存在时，设 ： ， ， ，
则把 代入 得 ，
显然 ，有 ， ，
，
所以 ，
综上所述， 为定值 ．
例题 3．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右顶点， 是
直线 上的一动点(的纵坐标不为零且 不在椭圆 上)，直线 与椭圆 的另一交点为 ，直
线 与椭圆 的另一交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：当 M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB 的面积最大，
则 ，解得 ，
所以椭圆 E的方程为 ..
(2)证明：设 P(－1，t)( 且)， ， ，则直线 AP 的方程为 ，直线 BP
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