第09讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题） (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第09 讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综
合问题（定点问题）(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
题型一：椭圆中的定点问题
角度 1：椭圆中的直线过定点问题
角度 2：椭圆中存在定点满足某条件问题
题型二：双曲线中的定点问题
角度 1：双曲线中的直线过定点问题
角度 2：双曲线存在定点满足某条件问题
题型三：抛物线中的定点问题
角度 1：抛物线中的直线过定点问题
角度 2：抛物线存在定点满足某条件问题
第二部分：高考真题感悟
题型一：椭圆中的定点问题
角度 1：椭圆中的直线过定点问题
典型例题
例题 1．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率
为.
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为 的直线 与椭圆相交于两点 ， 轴交于点 ，线段 的中点为 ，
直线 过点 且垂直于 （其中 为原点），证明直线 过定点.
【答案】(1) (2)证明见解析
第一部分：典 型 例 题 剖 析
（1）依题意， ， 又 椭圆的标准方程为 .
（2）由（1）知右焦点坐标为 ，设直线 方程为 ， 由
得， ，
直线 OP 的斜率 ， 直线 的斜率 ，令
得点 坐标为 ， 直线 的方程为 ，即 ， 直线 恒过定点
.
例题 2．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆 ： （ ）右焦点为 ，
为椭圆的上顶点， 为坐标原点， 且 的周长为 .是椭圆上一动点， 是
直线 上一点，且直线 轴.
(1)求椭圆 的方程：
(2)记直线 与椭圆另一交点为 ，直线 是否过 轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理
由.
【答案】(1) ；(2)过定点 N .
(1)解：因为椭圆的右焦点为 ， 为椭圆的上顶点，且 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，
解得 ，
所以椭圆方程为 ；
(2) ，易知直线 PQ 斜率为 0时，QM 为x轴，
则若 QM 过定点，则定点位于 x轴上，
当直线 PQ 斜率不为 0时，设 ，
与椭圆方程联立 ，得 ，
设 ，
则 ，
，
所以直线 QM 的方程为 ，
令 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
故直线 QM 过定点 N.
例题 3．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知椭圆 的离心率为 ，
一个焦点 与抛物线 的焦点重合．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 交 于 两点，直线 与 关于 轴对称，证明：直线 恒过一定点．
【答案】(1) ；(2)详见解析.
(1)由 ，可得 ，
∴ ，又离心率为 ，
∴ ， ，
∴椭圆 C的方程为 .
(2)设 ，
由 ，可得 ，
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