第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物线 (精讲）（原卷版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第08 讲直线与椭圆、双曲线、抛物线

(精讲）

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系

题型二：中点弦问题

角度 1：由中点弦确定直线方程

角度 2：由中点弦确定曲线方程

题型三：弦长问题

题型四：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题

第四部分：高考真题感悟

知识点一：直线与椭圆的位置关系

将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一

元二次方程，其判别式为 .

① 直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；

② 直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③ 直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

知识点二：直线与双曲线的位置关系

代数法：设直线，双曲线

a2−y2

b2=1(a>0, b>0)

联立解得：

(b2−a2k2)x2−2a2mkx−a2m2−a2b2=0

第一部分：知识点精准记忆

（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；

，，或 k不存在时，直线与双曲线没有交点；

（2）时，

存在时，若

b2−a2k2=0

，

k=± b

，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若，

时，，直线与双曲线相交于两点；

时，，直线与双曲线相离，没有交点；

时，直线与双曲线有一个交点；相切

不存在，时，直线与双曲线没有交点；

直线与双曲线相交于两点；

知识点三：直线与抛物线的位置关系

设直线 : ,抛物线:

y2=2px

（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程

(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;

当时,直线与抛物线相切,有一个切点;

当时,直线与抛物线相离,没有公共点.

(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线

有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式：

若直线

l:y=kx +b

与圆锥曲线相交与

、

两点，

A（x1, y1), B(x2, y2)

则：

弦长

|AB|=

√

(x1−x2)2+( y1−y2)2

√

(x1−x2)2+(kx1−kx 2)2

√

1+k2|x1−x2

√

1+k2

√

(x1+x2)2−4x1x2

弦长

|AB|=

√

1+1

k2|y1−y2

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

；

1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲

线的离心率的最大值是（）

A．B．2 C．D．

2．（2022·上海市第三女子中学高二期末）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有

（）

A．1条B．2条C．3条D．4条

3．（2022·湖南·高二阶段练习）已知为双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，

若，则的面积为__________.

4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））直线 l过抛物线的焦点 F，且 l与该抛物线交于不同的两

点，．若，则弦 AB 的长是____

5．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于 M，N两点，求 MN 的长．

题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系

典型例题

例题 1．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的交点个数为（ÃÃ）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

例题 2．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））过点作直线与抛物线只有一

个交点，这样的直线有（ÃÃÃ）条

A．B．C．D．

例题 3．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与直线有公共点，则实数的取值范

围是___________.

例题 4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值．

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