第08讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线 (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第08 讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
题型二：中点弦问题
角度 1：由中点弦确定直线方程
角度 2：由中点弦确定曲线方程
题型三：弦长问题
题型四：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题
第四部分：高考真题感悟
知识点一：直线与椭圆的位置关系
将直线的方程 与椭圆的方程 联立成方程组，消元转化为关于 或 的一
元二次方程，其判别式为 .
① 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
② 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③ 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点．
知识点二：直线与双曲线的位置关系
代数法：设直线 ，双曲线
x2
a2−y2
b2=1(a>0, b>0)
联立解得：
(b2−a2k2)x2−2a2mkx−a2m2−a2b2=0
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
（1） 时， ，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
， ，或 k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2） 时，
存在时，若
b2−a2k2=0
，
k=± b
a
，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若 ，
时， ，直线与双曲线相交于两点；
时， ，直线与双曲线相离，没有交点；
时 ， 直线与双曲线有一个交点；相切
不存在， 时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
知识点三：直线与抛物线的位置关系
设直线 : ,抛物线:
y2=2px
（ ）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 的方程
(1)若,当 时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当 时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当 时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线
有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式：
若直线
l:y=kx +b
与圆锥曲线相交与
、
B
两点，
A（x1, y1), B(x2, y2)
则：
弦长
|AB|=
√
(x1−x2)2+( y1−y2)2
=
√
(x1−x2)2+(kx1−kx 2)2
=
√
1+k2|x1−x2
|
=
√
1+k2
√
(x1+x2)2−4x1x2
弦长
|AB|=
√
1+1
k2|y1−y2
|
这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知双曲线 （ ， ）与直线 无公共点，则双曲
线的离心率的最大值是（ ）
A．B．2 C．D．
【答案】D
双曲线的渐近线方程为： ，若双曲线 （ ， ）与直线 无公共点，则应有
，所以离心率 ，
故选：D
2．（2022·上海市第三女子中学高二期末）过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有
（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
当斜率不存在时，过 的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为 ，联立 ，得 ①.
当 ，即 时，①式只有一个解；
当 时，则 ，解得 ；
综上可知过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有 4条.
故选：D.
3．（2022·湖南·高二阶段练习）已知 为双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，
若 ，则 的面积为__________.
【答案】 ##
不妨设点 在第一象限，
由双曲线 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
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