第08讲 拓展一：空间几何体内接球与外接球问题 (讲）（原卷版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第08 讲 拓展一：空间几何体内接球与外
接球问题 (精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：空间几何体的内切球问题
高频考点二：空间几何体的外接球问题
模型 1：长（正）方体模型——公式法
模型 2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）
模型 3：单面定球心法（定+算）
模型 4：双面定球心法（两次单面定球心）
第一部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：空间几何体的内切球问题
建立模型
球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即： ，可求出 .
典型例题
例题 1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）在三棱锥 中， 平面 ，且
，若球 在三棱锥 的内部且与四个面都相切（称球 为三棱锥 的内
切球），则球 的表面积为（ddddddd）
A．B．C．D．
例题 2．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，
其外部为一个底面边长为 6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的
表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.
例题 3．（2022·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱 有外接圆柱 ，点 ， 分别在棱
和 上， .
(1)若 ，且三棱柱 有一个内切球，求三棱柱 的体积；
题型归类练
1．（2022·全国·高一）已知点 O到直三棱柱 各面的距离都相等，球 O是直三棱柱
的内切球，若球 O的表面积为 ， 的周长为 4，则三棱锥 的体积为（）
A．B．C．D．
2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球
（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））若正四棱锥 内接于球 ，且底面 过球心 ，则球
的半径与正四棱锥 内切球的半径之比为__________.
4．（2022·广西玉林·模拟预测（理））若正四棱锥 内接于球 O，且底面 过球心 O，球的
半径为 4，则该四棱锥内切球的体积为_________．
高频考点二：空间几何体的外接球问题
模型 1：长（正）方体模型——公式法
建立模型
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
（1）设长方体一个顶点出发的三条边长分别为 ， ， ，则外接球半径 ；
（2）设正方体边长为 ，则外接球半径 ；
典型例题
例题 1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为 4，2，3，则这个长方体外
接球的表面积为______________．
例题 2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一期中）正方体 的棱长为 2，则此正方体外接球
的表面积是______.
题型归类练
1．（2022·全国·高一期末）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（）
A．B．3 C．D．
2．（2021·河北·深州长江中学高三期中）已知某正方体外接球的表面积为 ，则该正方体的棱长为_____
_．
3．（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）已知正方体的棱长为 2，则其外接球的表面积为______．
模型 2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）
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