第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题 (讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第07 讲 向量法求距离、探索性及折叠问
题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
题型二：利用空间向量求点到平面的距离
题型三：立体几何中的折叠问题
题型四：立体几何综合问题
知识点一：点 到直线 的距离
已知直线 的单位方向向量为 ， 是直线 上的定点， 是直线 外一点.设 ，则向量 在直线
上的投影向量 ，在 中，由勾股定理得：
知识点二：点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平面 的垂线 ，
交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量
的长度.
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1．（2022·广东茂名·高二期末）已知 为平面 的一个法向量， 为 内的一点，则点
到平面 的距离为（）
A．B．C．D．
【答案】A
依题意， ，而 为平面 的一个法向量，
所以点 到平面 的距离 .
故选：A
2．（2022·福建厦门·高二期末）直线 l的方向向量为 ，且 l过点 ，则点 到 l
的距离为()
A．B．C．D．
【答案】C
∵ ，
∴
又 ，
∴ 在 方向上的投影 ，
∴P到l距离 .
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ， ，则点 A到直线 BC 的距离是（）
A．B．C．D．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
【答案】B
由已知得 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以点 A到直线 BC 的距离是 .
故选：B
4．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知平面 的一个法向量为 ，点 在
平面 内，且 到平面 的距离为 ，则 的值为（）
A．1 B．11 C． 或 D．
【答案】C
，而 ，
即 ，
解得 或－11.
故选：C
5．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二开学考试）在棱长为 的正方体 中， 是
的中点，则点 到平面 的距离是（　　）
A．B．C．D．
【答案】A
以 为空间直角坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系.由于 是 中点，故
，且 ，设 是平面 的法向量，故
，故可设 ，故 到平面 的距离
.故选 A.
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