第07讲 利用导数研究双变量问题 (精讲+精练）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 07 讲 利用导数研究双变量问题(精讲+
精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离双参，构造函数
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
高频考点四：变更主元法
高频考点五：指定主元法
高频考点六：利用根与系数的关系转单变量
高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 07 讲 利用导数研究双变量问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量 满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于 的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方
法：①通过将所有涉及 的式子转化为关于 的式子，将问题转化为关于自变量 （ 亦可）的函数
问题；②通过 的乘积关系，用 表示 （用 表示 亦可），将双变量问题替换为 （或 ）的单变
量问题；
（3）构造关于 或 的新函数，同时根据已知条件确定出 或 的范围即为新函数定义域，借助新函数
的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等
式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
1．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且对
恒成立，则实数 的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
解：设 ，因为对 ，当 时都有 恒成立，
等价于 ，即 ，
令 ，则 ，所以 在 上为减函数，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，在 单调递增，
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
又 ， ，且 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：A.
2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知函数 ，若 且满
足 ，则 的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
由题意 时， 是减函数，且 ，
时， 是减函数，且 ，
由 且 得， ， ， ，
，所以 ，
，
设 ， ，
时， ， 是增函数，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）若存在两个正实数 x，y，使得等式 2x+a（y2﹣ex）（lny﹣lnx）＝0成立，
则实数 a的取值范围为（　　）
A．B．
C．D．
【答案】C
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