第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (练）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第06 讲 向量法求空间角（含探索性问
题） (精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
取 中点为 ，连接 ，所以 ，
又面 面 且交线为 ， 面 ，
所以 面 ， 面 ，则 .
设正方形的对角线长度为 2，
如图所示，建立空间直角坐标系， ，
所以 ， .
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选:A
2．（2022·全国·高二课时练习）若两个半平面的法向量所成的角为 ，则这个二面角的平面角的大小为
（）
A．B．C． 或 D．以上都不对
【答案】C
解：因为两个半平面的法向量所成的角为 ，
所以这个二面角的平面角的大小为 或 .
故选：C.
3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（理））如图，在正方体 中，点 E是上底
面
A1B1C1D1
的中心，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
以 为原点， 为 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为 2，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥
P－ADE 四个面都为直角三角形，且 ED⊥AD，PA⊥平面 ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线
PC 与平面 PAE 所成角的正弦值等于（）
A．B．
C．D．
【答案】C
如图建立空间直角坐标系， ， ， ， 则有： ，
，
设平面 PAE 的法向量 ，则有 ,令,则 ，即
∴ ，即直线 PC 与平面 PAE 所成角的正弦值为 ．
故选：C．
5．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为 2的正方形，侧棱与底面垂
直，若点 C到平面 AB1D1的距离为 ，则直线 与平面 所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
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