第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用 (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 06 讲 拓展一：平面向量的拓展应用
(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题
高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题
高频考点四：平面向量与三角函数的结合
第二部分：高考真题感悟
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
例题 1．（2021·重庆第二外国语学校高三阶段练习）已知向量 ， ，则“ ”是“
， 夹角为锐角”的（QQ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
由题设， ，
当 时， ，注意可能 ，故充分性不成立；
当 ， 夹角为锐角时， ，即 ，故必要性成立；
故选：B
例题 2．（2022·河北承德·高一阶段练习）已知向量 ， ，若向量 ， 的夹角是锐角，
则 的取值范围是（QQ）
A． B．
C． D．
【答案】C
第一部分：典 型 例 题 剖 析
因为 ， ，
所以 ，
因为向量 ， 的夹角是锐角，所以 ，解得 ，且 ．
所以，实数 的取值范围是 .
故选：C
例题 3．（2022·山东·淄博中学高一阶段练习）设 ， ，则 与 的夹角为钝角时，
的取值范围为___________.
【答案】
因为 ， ，
所以 ，
当 与 的夹角为钝角时， ，
解得： ，
当 与 反向共线时， ，解得 ， ,
所以 的取值范围为 
故答案为：
题型归类练
1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知 ， ，且 与 的夹角 为锐
角，则实数 的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
由 与 的夹角 为锐角知 且 与 不共线，即 且 ，即 且 .
故选：D.
2．（2022·广东茂名·高一期中）已知向量 ，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的
（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
因为 与 的夹角为锐角，则 且 与 不共线.
时， ，
当 时 ，
则 与 不共线时， ，
所以 与 的夹角为锐角的充要条件是 且 ，
显然 且 是 的真子集，
即“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的充分不必要条件，A正确.
故选：A
3．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知 ，若 与 的夹角为钝角.则实
数 的取值范围为______________.
【答案】 且
由 ，又 与 的夹角为钝角，
所以 ，即 .
当 与 反向共线时，即 有 ，则 ，此时 与 的夹角为 ，
综上， 的取值范围为 且 .
故答案为： 且 .
4．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设向量 ， 满足 ， ，且 ．若向量
与 的夹角为钝角，则实数 m的取值范围是________．
【答案】
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