第06讲 双曲线 (精讲）（原卷版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第06 讲 双曲线 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：双曲线的定义及其应用
题型二：双曲线的标准方程
题型三：双曲线的简单几何性质
角度 1：渐近线
角度 2：离心率
题型四：与双曲线有关的最值和范围问题
第四部分：高考真题感悟
知识点一：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点 ,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 )的点的轨
迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: .
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于 与
的大小.
(1)若,则,点 的轨迹是靠近定点 的那一支;
(2)若,则,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
标准方程
（
）
（
）
图形
性质
范围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率 ， ，
间的关系
知识点三：等轴双曲线
（ ， ）当 时称双曲线为等轴双曲线
① ； ②离心率
e=
√
2
； ③两渐近线互相垂直，分别为 ；
④ 等轴双曲线的方程
x2−y2=λ
， ；
知识点四：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为 渐近线方程：
2、若双曲线方程为 （ ， ） 渐近线方程：
3、若渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 ，
4、若双曲线与 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 （ ，焦点在 轴上，
，焦点在 轴上）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）双曲线 的离心率为 ，且过 ，
则双曲线方程为（）
A．B．C．D．
2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））双曲线的方程为 ， 则该双曲线的离心率为（）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）若方程 所表示的曲线为 ，
则下面四个命题中正确的是（）
A．若 为椭圆，则 B．若 为双曲线，则 或
C．曲线 可能是圆 D．若 为椭圆，且长轴在 轴上，则
4．（2022·贵州遵义·高二期末（理））过点 且与双曲线： 的渐近线垂直的直线方程为___
_______．
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若双曲线 的焦距等于虚轴长的 3倍，
则 的值为______．
题型一：双曲线的定义及其应用
典型例题
例题 1．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，
其一条渐近线倾斜角为 ，若点 P在双曲线上，且 ，则 ______．
例题 2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设 为椭圆 和双曲线
的一个公共点，且 在第一象限， 是 的左焦点，则 （ååååååå）
第三部分：典 型 例 题 剖 析
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