第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (精讲）（原卷版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率
公式 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：相互独立事件的概率
题型二：条件概率
题型三：全概率公式的应用
第四部分：高考真题感悟
知识点一：相互独立事件
对任意两个事件 与 ，如果 成立，则称事件 与事件 相互独立(mutually
independent)，简称为独立．
性质 1：必然事件
Ω
、不可能事件
∅
与任意事件相互独立
性质 2：如果事件
A
与
B
相互独立，则
A
与
B
，
A
与
B
，
A
与
B
也相互独立
则：
P
(
A B
)
=P
(
A
)
P
(
B
)
，
，
P
(
A B
)
=P
(
A
)
P
(
B
)
知识点二：条件概率
1、定义：一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ，我们称 为在事件 发生
的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率．
2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件 与 ，若 ，则 ．
我们称上式为概率的乘法公式．
3、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设 ，则
① ；
② 如果 和 是两个互斥事件，则 ；
③ 设 和 互为对立事件，则 ．
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
④ 任何事件的条件概率都在 0和1之间，即： .
知识点三：全概率公式
1、定义：一般地,设, , 是一组两两互斥的事件 , ,且 ，
,则对任意的事件 ,有,我们称此公式为全概率公式.
2、全概率公式的理解
全概率公式的直观意义：某事件 的发生有各种可能的原因 （ ）,并且这些原因两两互
斥不能同时发生，如果事件 是由原因 所引起的，且事件 发生时， 必同时发生，则 与
有关，且等于其总和 .
“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率 ,或已知各原因 发生的概率
及在 发生的条件下 发生的概率 .通俗地说，事件 发生的可能性，就是其原因 发生
的可能性与已知在 发生的条件下事件 发生的可能性的乘积之和.
1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知 ， ，则 等于（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·山东济南·高二期末）已知事件 A，B，若 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川眉山·高二期末（理））为积极应对人口老龄化，2021 年8月20 日，全国人大常委会会议
表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女.若
已知某个家庭有 3个小孩，且其中至少有 1个男孩的条件下，则第三个孩子是女孩的概率为___________.
4．（2022·北京通州·高二期末）有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为 5%，第二台加
工的次品率为 4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一､二台车床加工的零件数分别占总数的
40%，60%，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是___________.
5．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期末）在 A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为
6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为 3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患
流感的概率是___________.
6．（2022·江苏常州·高一期末）已知 A，B是相互独立事件，且 ， ，则 ___
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
_____.
题型一：相互独立事件的概率
典型例题
例题 1．如果 A、B是独立事件， 、 分别是 、 的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是
（ùùùùùùù）
A．B．
C．D．
例题 2．甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则
原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为 ，
且第一次由甲开始射击，则第 4次由甲射击的概率___________．
例题 3．甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 和 ，两人能否破译密码相互独立，求两人
破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译；
(2)恰有一人能破译.
例题 4．设 ､为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若 ､为互斥事件，且 ， ，则 ；
（2）若 ， ， ，则 ､为相互独立事件；
（3）若 ， ， ，则 ､为相互独立事件；
（4）若 ， ， ，则 ､为相互独立事件；
（5）若 ， ， ，则 ､为相互独立事件；
其中正确命题的个数为___________.
例题 5．某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和
填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得
第三部分：典 型 例 题 剖 析
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