第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根） (精讲+精练）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程
的根） (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
高频考点二：证明唯一零点问题
高频考点三：根据零点情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点问题
②利用数形结合法研究函数的零点问题
③构造函数研究函数零点问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）
1、函数的零点
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
（1）函数零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点．
（2）三个等价关系
方程
f(x)=0
有实数根
⇔
函数
y=f(x)
的图象与
x
轴有交点的横坐标
⇔
函数
y=f(x)
有零点．
2、函数零点的判定
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是 的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
1．（2022·全国·高二）已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表：
的导函数 的图象如图所示，
则下列关于函数 的命题：
① 函数 是周期函数；
② 函数 在 是减函数；
③ 如果当 时， 的最大值是 2，那么 的最大值为 4；
④ 当 时，函数 有 4个零点．
其中真命题的个数是
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
①显然错误；③容易造成错觉，tmax＝5；④错误，f(2)的不确定影响了正确性；②正确，可由 f′(x)<0 得
到．
2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数 有两个极
值点，则实数 a的取值范围为（）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
A．B．C．D．
【答案】B
对原函数求导得， ，
因为函数 有两个极值点，
所以 有两个不等实根，即 有两个不等实根，
亦即 有两个不等实根.
令 ，则
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又因为当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B
3．（2022·全国·高二）若函数 仅有一个零点，则实数 的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
因为函数 仅有一个零点，
所以 与 图像只有一个交点.
对于 ，求导得 .令 ，得 或 .
所以当 时 单调递增；当 时 单调递减；当 时 单调递增.
所以当 时函数有极大值 ，当 时函数有极小值 .
作 与 的图像如下图所示.
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