第05讲 空间向量及其应用 (讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第05 讲 空间向量及其应用 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：空间向量的线性运算
题型二：共线、共面向量定理的应用
题型三：空间向量的数量积及其应用
角度 1：求空间向量的数量积
角度 2：利用数量积求长度
角度 3：利用数量积求夹角
角度 4：利用向量解决平行和垂直问题
角度 5：向量的投影和投影向量
题型四：利用空间向量证明平行与垂直
第四部分：高考真题感悟
知识点一：空间向量的有关概念
1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；
如空间中的位移速度、力等．
2、几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为 0的向量叫做零向量，记为
单位向量 模为 1的向量称为单位向量
相反向量 与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
知识点二：空间向量的有关定理
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、共线向量定理：
对空间任意两个向量 ， 的充要条件是存在实数 ，使 ．
（1）共线向量定理推论：如果 为经过点 平行于已知非零向量 的直线,那么对于空间任一点 ,点 在
直 线 上 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 ,使 ① ， 若 在 上 取 ， 则 ① 可 以 化 作 ：
（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点 ，空间中三点 共线的充要条件是 ，
其中
2、共面向量定理
如果两个向量 不共线，那么向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使
（1）空间共面向量的表示
如图空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ，使 ．
或者等价于：对空间任意一点 ，空间一点 位于平面 内（ 四点共面）的充要条件是存
在有序实数对 ，使 ，该式称为空间平面 的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
（2）拓展
对于空间任意一点 ，四点 共面（其中 不共线）的充要条件是
（其中 ）．
3、空间向量基本定理
如果向量三个向量 不共面，那么对空间任意向量 存在有序实数组 使得
知识点三：空间向量的数量积
1、空间两个向量的夹角
（1）定义：如图已知两个非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ， ，则么 叫做向
量 的夹角，记 .（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
（2）范围： ．
特别地，（1）如果 ，那么向量 互相垂直，记作 ．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为 0；反向时，夹角为 ，故
(或) ( 为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定 与任何向量 都是共线的，即 ．两非零向量的夹角
是唯一确定的．
（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为 ，
(1)向量夹角的范围是 0<< >< ，异面直线的夹角 的范围是 0< < ，
(2)当两向量的夹角为锐角时， ；当两向量的夹角为 时，两异面直线垂直；当两向量的夹角
为钝角时， .
2、空间向量的数量积
定 义 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 ， ， 则 叫 做 ， 的 数 量 积 ， 记 作 ； 即
．规定：零向量与任何向量的数量积都为 0.
3、向量 的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量 向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面
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