第05讲 复数 (精讲+精练）（解析版）【精讲精练—新教材新高考】备战2023年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用版）

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第 05 讲 复数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：复数的概念
高频考点二：复数的几何意义
高频考点三：待定系数求复数
高频考点四：复数的四则运算
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 05 讲 复数（精练）
1、复数的概念
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
我们把形如 的数叫做复数,其中 叫做虚数单位,满足 .全体复数所构成的集合
叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母 表示,即 ,其中的 与 分别叫做复数 的实部与虚
部.
2、复数相等
在 复 数 集 中 任 取 两 个 数 ， ， （ ） ， 我 们 规 定
.
3、复数的分类
对于复数 ( ),当且仅当 时,它是实数；当且仅当 时,它是实数 0；当 时,
它叫做虚数；当 且 时,它叫做纯虚数.这样,复数 ( )可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义 1：复数   复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义 2：复数   平面向量
5、复数的模
向量 的模叫做复数 )的模，记为 或
公式： ，其中
复数模的几何意义：复数 在复平面上对应的点 到原点的距离；
特别的， 时，复数 是一个实数，它的模就等于 ( 的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于 0 的两
个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数 的共轭复数用 表示，即如果 ，则 .
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设 ， ，（ ）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：
的复数 叫做复数 减去复数 的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
（1）复数的三角形式
一般地，任何一个复数 都可以表示成 的形式.其中 是复数 的模； 是以
轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角.
叫做复数 的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来， 叫做复
数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：
“模非负，角相同，余弦前，加号连”
（2）复数的俯角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍.
复数 0 的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在 范围内的辐角 的值为辐角的主值.
通常记作 ，即 .
（3）复数代数形式和三角形式的互化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将
复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:
① 先求复数的模；
② 决定辐角所在的象限；
③ 根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④ 写出复数的三角形式．
（4）三角形式下复数的相等
两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
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