第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲+精练）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题（精练）
1、分离参数法
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
1．（2022·全国·高二）设 为正实数，函数 ，若 ， ，则 的取值
范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
，
因为 ，当 时，所以有 成立，因此函数 在 上单调递减，
因此当 时， 恒成立，一定有 成立，
即 ，因为 ，所以有 .
故选：A
2．（2022·全国·高二）若不等式 对任意实数 x都成立，则实数 a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
,
当 时， ，当 时， ，
的递减区间是 ，递增区间是 ，
所以 取得极小值，也是最小值，
，
不等式 对任意实数 x都成立，
所以 .
故选:D.
3．（2022·全国·高二）已知函数 ，对 都有 成立，则实数 的取值范围
是（）
A．B．C．D．
【答案】B
解：函数 ,对 都有 ,
当 时,即,
即为
可化为
令,
则
当 时, ,单调递减.
因此
所以
故实数 的取值范围是
故选 B
第三部分：典 型 例 题 剖 析
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