第04讲 空间直线、平面的垂直 (讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第04 讲 空间直线、平面的垂直 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线、平面垂直的判定与性质
题型二：平面与平面垂直的判定与性质
题型三：平行、垂直关系的综合应用
题型四：几何法求线面角
题型五：几何法求二面角
第四部分：高考真题感悟
知识点一：直线与平面垂直
1、直线和平面垂直的定义
如果一条直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，那么直线 垂直于平面 ，记为 ．直
线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面，垂线与平面的交点 P叫垂足.
符号语言：对于任意 ，都有 .
2、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记：线线垂直 线面垂直
符号语言： ， ， ， ，
3、直线和平面垂直的性质定理
3.1 定义转化性质：如果一条直线 与平面 垂直，那么直线 垂直于平面 内所有直线.
符合语言： ， .
3.2 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符合语言： ，
知识点二：直线与平面所成角
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、直线与平面所成角定义
如图，一条直线 和一个平面 相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜
线，斜线和平面的交点 叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 ，过垂足
和斜足 的直线 叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射
影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
说明：① 为斜线
② 与 的交点 为斜足
③ 直线 为在平面 上的射影
④ 直线 与射影 所成角 (角)为直线 与平面 上所成角
⑤当直线 与平面 垂直时： ；当直线 与平面 平行或在平面 内时：
⑥ 直线与平面所成角 取值范围： .
2、直线与平面所成角的求解步骤
① 作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
② 证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③ 算：一般借助三角形的相关知识计算.
知识点三：二面角
1、二面角定义
（1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面
叫做二面角的面．
（2）符号语言：
① 二面角 .
② 在 ,内分别取两点 ， ( , ),可记作二面角 ;
③ 当棱记作 时，可记作二面角 或者二面角 .
2、二面角的平面角
（1）定义：在二面角 的棱 上任取一点 ,以点 为垂足,在半平面 和 内分别作垂直与直线
的射线 , ,则射线 和 构成的 叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面
角.
（2）说明：
① 二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；
② 二面角的大小与垂足 在 上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；
③ 构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角
的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二
面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；
④ 二面角的平面角 的范围是 ，当两个半平面重合时， ；当两个半平面合成一个平面
时，
⑤ 当两个半平面垂直时， ，此时的二面角称为直二面角.
3、二面角的平面角 的取值范围：
4、二面角平面角求法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半
平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用
二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.
（2）三垂线定理及其逆定理
① 定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直.
② 三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另
一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交
线所成的角，就是二面角的平面角.
(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.
(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法
知识点四：平面与平面垂直
1、平面与平面垂直的定义
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
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