第03讲 平面向量的数量积 (精讲）（原卷版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 03 讲 平面向量的数量积 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度 1：平面向量数量积的定义及辨析
角度 2：平面向量数量积的几何意义
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度 1：用定义求数量积
角度 2：向量模运算
角度 3：向量的夹角
角度 4：已知模求数量积
角度 5：已知模求参数
高频考点三：平面向量的综合应用
高频考点四：极化恒等式
第四部分：高考真题感悟
1、平面向量数量积有关概念
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.1 向量的夹角
已知两个非零向量 和 ，如图所示，作 ， ，则
( )叫做向量 与 的夹角，记作 ．
(2)范围：夹角 的范围是 ．
当 时，两向量 ， 共线且同向；
当 时，两向量 ， 相互垂直，记作 ；
当 时，两向量 ， 共线但反向．
1.2 数量积的定义：
已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，即
，其中 θ是 与 的夹角，记作： ．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作： .
1.3 向量的投影
①定义：在平面内任取一点 ，作 .过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则
就是向量 在向量 上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当 为锐角（如图（1））时， 与 方向相同， ，所以
；
当 为直角（如图（2））时， ，所以 ；
当 为钝角（如图（3））时， 与 方向相反，所以
，即 .
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以
.
综上可知，对于任意的 ，都有 .
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量 ， 为向量 和 的夹角：
2.1 数量积
2.2 模：
2.3 夹角：
2.4 非零向量 的充要条件：
2.5 三角不等式： （当且仅当 时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
① 平行四边形形式：若在平行四边形 中，则
② 三角形形式：在 中， 为 的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
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