第03讲 二项式定理 (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第03 讲 二项式定理 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度 1：求二项展开式的特定项（或系数）
角度 2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
角度 3：三项展开式中特定项（或系数）问题
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
角度 1：二项式系数和与系数和
角度 2：展开式的逆应用
题型三：项式系数的性质
角度 1:二项式系数最大问题
角度 2：系数最大问题
第四部分：高考真题感悟
知识点一：二项式定理
（1）二项式定理
一般地，对于每个 （ ）， 的展开式中 共有 个，将它们合并同类项，
就 可 以 得 到 二 项 展 开 式 ：
(a+b)n=Cn
0anb0+Cn
1an−1b1+Cn
2an−2b2+⋯+Cn
ran−rbr+⋯+Cn
na0bn
（
）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：
(a+b)n=Cn
0anb0+Cn
1an−1b1+Cn
2an−2b2+⋯+Cn
ran−rbr+⋯+Cn
na0bn
， 等号右边的
多项式叫做 的二项展开式.
（3）二项式系数与项的系数
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
二项展开式中各项的二项式系数为 ( ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号
等.
（4）二项展开式的通项
二项展开式中的 ( )叫做二项展开式的通项,用 表示,即通项为展开式的第
项: .通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展
开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛
的应用.
知识点二：二项式系数的性质
① 对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：
② 增减性：当 时，二项式系数递增，当 时，二项式系数递减；
③ 最大值：当 为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当 为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
知识点三：各二项式系数和
（1） 展开式的各二项式系数和：
；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
1．（2022·全国·高二课时练习）若 的展开式中各项系数的和为 256，则 的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【详解】解：设 ，
令 得 ，
解得 ．
故选：D
2．（2022·云南昆明·高二期中）已知 ，则
（ ）
A．31 B．32 C．15 D．16
【答案】A
【详解】逆用二项式定理得 ，即 ，所以 n=5，所以
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
．
故选:A
3．（2022·全国·高二单元测试） 的展开式中各项的二项式系数之和为________．
【答案】512
【详解】 的展开式中各项的二项式系数之和为 ．
故答案为：512．
4．（2022·广西贵港·高二期末（理））在 展开式中，含 的项的系数是__________．
【答案】20
【详解】 的展开式中 的系数为 ，
的展开式中 的系数为 ，
故在 展开式中，含 的项的系数为 20．
故答案为：20
5．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）（1）已知 的展开式中第 2项与第 5项的二项式系数相等，
则__________.
（2）__________.
【答案】ÁÁÁÁ 5 21
【详解】（1）根据二项式定理可知， ，所以 ；
（2）根据组合数性质可知， ，
解得 ，又因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：5；21
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度 1：求二项展开式的特定项（或系数）
典型例题
例题 1．（2022·四川广安·模拟预测（理））在 的展开式中，常数项为（ÁÁÁ）
A．-60 B．60 C．-240 D．240
【答案】D
第三部分：典 型 例 题 剖 析
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