第03讲 等比数列及其前n项和 (精讲）（原卷版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 03 讲 等比数列及其前 项和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：等比数列基本量的运算
题型二：等比数列的判断与证明
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度 1：等比数列的性质
角度 2：等比数列与等差数列的综合问题
第四部分：高考真题感悟
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 ( )表示．数学语言表达： ，
为常数， .
(2)等比中项
如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．即： 是 与 的等比中项⇔，
， 成等比数列⇔.
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列 的首项为 ，公比是 ，则其通项公式为 ；可推广为 .
(2)等比数列的前 项和公式：当 时， ；当 时， .
3.等比数列的性质
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
设数列 是等比数列， 是其前 项和．
(1)若 ，则 ，其中 .特别地，若 ，则 ，其
中 .
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ， ， ，…仍是等比数列，公比为
( )．
(3)若数列 ， 是两个项数相同的等比数列，则数列 ， 和 (其中 ， ，
是非零常数)也是等比数列．
1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知 、 、 成等比数列，则 的值为（）
A．B．C．D．
2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有 1只蜜蜂，第 1天，它飞出去找回了 4个伙
伴；第 2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了 4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第 20 天所有的蜜蜂都
归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（）
A．420 只B．520 只C． 只 D． 只
3．（2022·北京·昌平一中高二期中） 与 的等比中项是（　　）
A．B．C．D．
4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知 2是2m与n的等差中项，1是m与2n的等比中项，
则 （）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2022·全国·高二单元测试）在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵
列成等比数列，那么 的值为（）
2 4
1 2
x y
A．2 B．3 C．4 D．5
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
题型一：等比数列基本量的运算
例题 1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）若等比数列 满足 ，
，则数列 的公比为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
例题 2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列 中， ，且
，则 （åå）
A．1024 B．960 C．768 D．512
例题 3．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）在等比数列 中， ， ，则
公比 （ååå）
A． B．2 C．1 D．
例题 4．（2022·全国·模拟预测）已知 是等比数列， ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前 项和，求使得 的正整数 的所有取值．
例题 5．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列 是等比数列， ，
(1)求数列 的通项公式及其前 项和 ；
(2)若 分别为等差数列 的第 3 项和第 5 项，求数列 的通项公式及其前 项和 .
题型二：等比数列的判断与证明
例题 1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
第三部分：典 型 例 题 剖 析
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