第03讲 成对数据的统计分析 (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第03 讲 成对数据的统计分析 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：成对数据的相关性
题型二：回归分析
角度 1：经验回归方程及应用
角度 2：非线性经验回归方程及应用
角度 3：相关系数
角度 4：残差分析
题型三：列联表与独立性检验
第四部分：高考真题感悟
知识点一：变量的相关关系
(1)两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.
(2)正相关、负相关
从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;如
果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减小的趋势,则称这两个变量负相关.
(3)线性相关、非线性相关
一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相
关.
一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
知识点二：样本相关系数
（1）相关系数 的计算
变量 与变量 的样本相关系数 的计算公式如下：
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
（2）相关系数 的性质
① 当 时,称成对样本数据正相关;当 时,称成对样本数据负相关.
当 时，成对样本数据间没有线性相关关系.
② 样本相关系数 的取值范围为 ,当 越接近 1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当 越接近
0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.
知识点三：一元线性回归模型
(1)数学表述式:如果两个变量之间的关系可以表示为
我们称该式为 关于 的一元线性回归模型.
其中,称为因变量或响应变量,称为自变量或解释变量;和 为模型的未知参数,称为截距参数,称为
斜率参数;是 与 之间的随机误差.
（2）经验回归方程
我们将 称为 关于 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回
归直线，其中
（3）利用 刻画回归效果
的计算公式为 ，其意义是 越大，残差平方和 越小，即模型的拟
合效果越好； 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.
知识点四：列联表与独立性检验
(1)2×2 列联表
如图,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为 2×2 列联表.
合计
合计
(2)独立性检验
依据上述 列联表构造统计量
利用 的取值推断分类变量 和 是否独立的方法称为 独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独
立性检验.
常用的小概率值和临界值表
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1．（2022·重庆·高二阶段练习）甲､乙､丙､丁四位同学各自对 两变量的线性相关性做试验，分别求得
样本相关系数 ，如下表：
甲 乙 丙 丁
则试验结果中 两变量有更强线性相关性的是（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【详解】由已知，乙的相关系数的绝对值为 ，是四人中最大的，因此乙同学有更强的相关性．
故选：B．
2．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（文））在研究线性回归模型时，样本数据
所对应的点均在直线 上，用 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，
则 （）
A．B．C．1 D．2
【答案】C
【详解】因为样本数据所对应的点都在直线 上，所以.
故选：C
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
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