第02讲 等差数列及其前n项和 (精讲）（原卷版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：等差数列基本量的运算
题型二：等差数列的判断与证明
题型三：等差数列的性质及其应用
角度 1：等差数列的性质
角度 2：等差数列前 n 项和的性质
角度 3：等差数列的最值问题
第四部分：高考真题感悟
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示．数学语言表示为 (
)(或者 ）， 为常数．
(2)等差中项：若 ， ， 成等差数列，则 叫做 和 的等差中项，且 .
注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法： ( )(或者 ）
② 等差中项法：
2.等差数列的有关公式
(1) 若 等 差 数 列 的 首 项 是 ， 公 差 是 ， 则 其 通 项 公 式 为 ， 可 推 广 为
(*)．
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
(2)等差数列的前 项和公式 (其中 )．
3.等差数列的常用性质
已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和．
(1)等差数列 中，当 时，
( )．
特别地，若 ，则 ( )．
(2)相隔 等距离的 项组成的数列 是等差数 列，即 ， ， ，…仍 是等差数列，公差为 (
)．
(3) 也成等差数列，其首项与 首项相同，公差为 .
(4) ， ， …也成等差数列，公差为 .
（5）若数列 , 均为等差数列且其前 项和分别为 , ,则
4.等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的关系
可化为 的形式．当 时， 是关于 的一次函数；当
时，数列为递增数列；当 时，数列为递减数列．
(2)等差数列前 项和公式可变形为 .当 时，它是关于 的二次函数，表示为
( ， 为常数)．
1．（2022·四川成都·高一期中）已知数列 为等差数列，若 ，则 的值为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））下列数列不是等差数列的是（）
A．0，0，0，…，0，…
B．－2，－1，0，…，n－3，…
C．1，3，5，…，2n－1，…
D．0，1，3，…， ，…
3．（2022·江苏南京·模拟预测）2022 年4月26 日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
学计算，运载“神十三”的“长征二号” 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 2千米，以后
每秒钟通过的路程都增加 2千米，在达到离地面 380 千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的
时间大约是（）
A．10 秒B．13 秒C．15 秒D．19 秒
4．（2022·北京·101 中学三模）已知等差数列 中 ，则 _______．
5．（2022·全国·高二课时练习）数列 中， ， ，那么这个数列的通项公式是______．
题型一：等差数列基本量的运算
例题 1．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知等差数列 中， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列的 前 项和 .
例题 2．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 中， ， ．
(1)求 的值；
(2)2022 是否为数列 中的项？若是，则为第几项？
例题 3．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列 是等比数列， ，
(1)求数列 的通项公式及其前 项和 ；
(2)若 分别为等差数列 的第 3 项和第 5 项，求数列 的通项公式及其前 项和 .
例题 4．（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列 的公差 ，且 ， 的前 项和为
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， ， 成等比数列，求 的值．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
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