第01讲 平面向量的概念及其线性运算 (精讲）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 01 讲 平面向量的概念及其线性运算
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量的概念
角度 1：平面向量的概念与表示
角度 2：模
角度 3：零向量与单位向量
角度 4：相等向量
高频考点二：向量的线性运算
角度 1：平面向量的加法与减法
角度 2：平面向量的数乘
高频考点三：共线向量定理的应用
第四部分：高考真题感悟
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
向量表示方法：向量 或 ；模 或 .
（2）零向量：长度等于 0 的向量，方向是任意的，记作 .
（3）单位向量：长度等于 1 个单位的向量，常用 表示.
特别的：非零向量 的单位向量是 .
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量， 与 共线可记为 ；
特别的： 与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作 .
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作 .
2、向量的线性运算
2.1 向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量
，我们规定 .
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量 , ,在平面内任取一点 ,作 , ,则向量 叫做 与 的和,记作 ,即
.
这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量 , ,作 , ,以 , 为邻边作 ,则以 为起点的向量 (
是 的对角线)就是向量 与 的和
.
这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法
则.
2.2 向量的减法
①定义：向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 .
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量 , ,在平面内任取一点 ,作 , ,则向量
.
如图所示
如果把两个向量 , 的起点放在一起,则 可以表示为从向量 的终点指向向量
的终点的向量.
2.3 向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数 与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 .它的长度与方向规
定如下：
①
② 当 时， 的方向与 的方向相同； 当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，
.
3、共线向量定理
①定义：向量 与非零向量 共线，则存在唯一一个实数 ， .
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意 ；特别地，若 ，实数 仍
存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1 向量三角不等式
①已知非零向量 ， ，则 （当 与 反向共线时左边等号成立；当 与
同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量 ， ，则 （当 与 同向共线时左边等号成立；当 与
反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如
中， 中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：
中 中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成
立；
4.2 中点公式的向量形式：
若 为线段 的中点， 为平面内任意一点，则 .
4.3 三点共线等价形式：
（ ， 为实数），若 ， ， 三点共线
一、判断题
1．（2022·全国·高一课前预习）判断下列结论是否正确.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
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