保分04 解答题保分训练- 【考前突围密训】2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型（新高考适用）（解析版）

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保分 04 解答题保分训练
保分系列内容简介：临近高考，咱们所剩的复习时间不是很多了，更应该注重基础知识和基本题型的
掌握，提高自己的学习效率。本系列主要就是为了夯实基础，采取保分政策，减少高考中的容错率，
从而避免高考中发挥失误.一共十五组解答题，选自优质的模考试卷中的 17-20 题，适用新高考.
☆☆第一组☆☆
17．（2022•沈阳一模）从①
bsinC =❑
√
3ccosB
，②b2+ac＝a2+c2这两个条件中任选一个，补充到下面已
知条件中进行解答．
已知△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且____．（填写①或②，只可以选择一个标号，
并依此条件进行解答．）
（1）求 B；
（2）若 b＝2，△ABC 的面积为
❑
√
3
，求 a．
【解答】解：（1）选择条件①：由正弦定理及
bsinC =❑
√
3ccosB
，知 sinBsinC
¿❑
√
3
sinCcosB，
因为 sinC≠0，所以 sinB
¿❑
√
3
cosB，所以 tanB
¿sinB
cosB =❑
√
3
，
因为 B∈（0，π），所以 B
¿π
3
．
选择条件②：
由余弦定理知，cosB
，
所以 B
¿π
3
．
（2）因为△ABC 的面积 S
¿1
2
acsinB
¿1
2
ac
×
❑
√
3
2=❑
√
3
，所以 ac＝4，
由（1）知，b2+ac＝a2+c2，
所以 4+4＝a2+c2，即 8＝a2
+¿
，
化简得 a48﹣a2+16＝0，解得 a2＝4，
又a＞0，所以 a＝2．
18．（2022•沈阳一模）等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1＝b1＝1，a2+a4＝14，b2b4＝a6，且 bn＞0．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）已知：①bn＜1000；②∃m∈N+，使 am＝bn．设 S为数列{bn}中同时满足条件①和②的所有的项
的和，求 S的值．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为 d和等比数列{bn}的公比为 q，q＞0，
由a1＝b1＝1，a2+a4＝14，b2b4＝a6，可得 1+d+1+3d＝14，q•q3＝1+5d，
解得 d＝3，q＝2，
则an＝1+3（n1﹣）＝3n2﹣，bn＝2n1﹣；
（2）①bn＜1000，即 2n1﹣＜1000，解得 n＝1，2，3，...，10；
②∃m∈N+，使 am＝bn，即 3m2﹣＝2n1﹣，
可得 m＝1，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n＝5；m＝22，n＝7；m＝86，n＝9．
所以 S＝1+4+16+64+256＝341．
19．（2022•沈阳一模）现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋．一部分该
棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即 ：
对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋．
（1）对某位该棋类游戏参与者的 100 场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如表所示．
请将表格补充完整，并判断是否有 90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？
先手局 后手局 合计
赢棋 45
输棋 45
合计 25 100
（2）现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，
同时比赛结束，比赛至多进行三局）．在甲先手局中，甲赢棋的概率为
2
3
，乙赢棋的概率为
1
3
；在乙先
手局中，甲赢棋的概率为
2
5
，乙赢棋的概率为
3
5
．若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设
比赛共进行 X局，求 X的分布列和数学期望．
附：
χ2=n(ad −bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，n＝a+b+c+d．
P（χ2≥k）0.10 0.05 0.01
k2.706 3.841 6.635
【解答】解：（1）2×2 列联表如下：
先手局 后手局 合计
赢棋 45 10 55
输棋 30 15 45
合计 75 25 100
∵
K2=100 ׿¿
2.706，
∴有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关．
（2）由题意可得，X所有可能取值为 2，3，
P（X＝2）
¿2
3×2
5+1
3×3
5=7
15
，
P（X＝3）＝1﹣P（X＝2）
¿8
15
，
故X的分布列为：
X 2 3
P
7
15
8
15
故E（X）
¿2×7
15 +3×8
15 =38
15
．
20． （2022• 沈阳一模）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中， PA⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是直角梯形，
BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝2BC＝2
❑
√
2
．
（1）求证：BD⊥平面 PAC；
（2）求二面角 B﹣PC﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：∵PA⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，又∵AB⊥AD，
∴AB、AD、AP 两两互相垂直，
以A为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 A﹣xyz，如图，
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