2022年高三二轮复习讲练测之练案选择题、填空题小题狂练五（练）【解析版】（理科）-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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“12＋4”小题狂练(五)

一、选择题

1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x－3<0}，B＝，那么 A∩(∁UB)＝(　　)

A．{x|－2≤x≤3}　　 B．{x|－2<x<3}

C．{x|x≤－2} D．{x|x<3}

解析：A＝{x|x<3}，B＝{x|x>－2}，∁UB＝{x|x≤－2}，A∩(∁UB)＝{x|x≤－2}．

答案：C

2．已知复数 z为纯虚数，且＝1，则 z＝(　　)

A．±2i B．±i

C.i D．i

解析：法一：∵＝1，∴|z|＝|1－i|＝，

又复数 z为纯虚数，∴z＝±i.

法二：设 z＝bi，b∈R，＝1，即＝1，∴|b|＝，

∴b＝±.

答案：B

3．已知角 α的终边经过点 P(sin 47°，cos 47°)，则 sin(α－13°)＝(　　)

A. B．

C．－ D．－

解析：∵|OP|＝＝1，

∴sin α＝＝cos 47°，cos α＝＝sin 47°，

则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°＝cos(47°＋

13°)＝cos 60°＝.

答案：A

4．设实数 a，b，c满足 a＝5－，bln b＝1,3c3＋c＝1，则 a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>b>a B．b>c>a

C．b>a>c D．a>b>c

解析：a＝5－＝<＝，bln b＝1⇒ln b＝，结合图象(图略)可知 b>1，令 f(x)＝3x3＋x－

1，则 f′(x)＝9x2＋1>0，所以 f(x)在R上单调递增，又 f·f(1)＝－×3＝－<0，所以 c∈，故

b>c>a.

答案：B

5．素数也叫质数，部分素数可写成“2n－1”的形式(n是素数)，法国数学家马丁·梅森

就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称

为梅森素数.2018 年底发现的第 51 个梅森素数是 P＝282 589 933－1，它是目前最大的梅森素数．

已知第 8个梅森素数为 P＝231－1，第 9个梅森素数为 Q＝261－1，则约等于(参考数据：lg

2≈0.3)(　　)

A．107 B．108

C．109 D．1010

解析：＝≈230，令 230＝k，则 lg 230＝lg k，∴30lg 2＝lg k．又 lg 2≈0.3，∴lg k＝9，即 k

＝109，∴约等于 109.

答案：C

6．已知向量 a＝(5，m)，b＝(2，－2)．若(a－b)⊥b，则实数 m＝(　　)

A．－1 B．1

C．2 D．－2

解析：因为向量 a＝(5，m)，b＝(2，－2)，所以 a－b＝(3，m＋2)．因为(a－b)⊥b，所

以(a－b)·b＝0，所以 6－2(m＋2)＝0，解得 m＝1.

答案：B

7．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发

展成辘轳.19 世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提

供了条件，如图所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在 A处测得 B处的仰角为

37°，在 A处测得 C处的仰角为 45°，在 B处测得 C处的仰角为 53°，点 A所在等高线值为

20 米，若 BC 管道长为 50 米，则点 B所在等高线值为(　　)

A．30 米 B．50 米

C．60 米 D．70 米

解析：由题意，作出示意图如图所示．

由已知得，∠CAE＝45°，∠BAE＝37°，∠CBF＝53°.

设BD＝x，则 AD＝＝＝x，

CF＝BCsin 53°＝50cos 37°＝50×＝40，BF＝BCcos 53°＝50sin 37°＝50×＝30.

因为△AEC 为等腰直角三角形，所以由 AE＝CE，得 x＋30＝x＋40，解得 x＝30.又点 A

所在等高线值为 20 米，故点 B所在等高线值为 20＋30＝50(米)．

答案：B

8．已知函数 f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，其中

A，B分别是函数图象的最高点和最低点，则函数 f(x)在[－6π，－4π]上的最值之和为(

)

A．0 B．－2＋

C．2－ D．2

解析：设函数 f(x)的最小正周期为 T.依题意，得 M＝2，＝－，所以 T＝4π，所以 ω＝

＝，所以 f(x)＝2sin.将点 A代入 f(x)＝2sin，可得 2sin＝2，所以－＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得

φ＝＋2kπ(k∈Z)．因为 0＜φ＜π，所以 φ＝，所以 f(x)＝2sin.当x∈[－6π，－4π]时，x＋

∈，则 2sin∈[－，2]．f(x)的最大值为 2，最小值为－，所以所求最值之和为 2－.

答案：C

9．已知点 A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2.若四面体 ABCD 外

接球的球心 O恰好在侧棱 DA 上，DC＝2，则四面体 ABCD 的体积为(　　)

A. B．

C. D．

解析：由AB ＝BC＝，AC＝2，可知∠ABC＝.

取AC 的中点 M，则点 M为△ABC 外接圆的圆心，又 O为四面体 ABCD 外接球球心，

所以 OM⊥平面 ABC，且 OM 为△ACD 的中位线，

所以 DC⊥平面 ABC，故三棱锥 DABC 的体积 V＝××××2＝.

答案：C

10．已知 F是双曲线 E：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，过点 F且倾斜角为 30°的直线与

曲线 E的两条渐近线依次交于 A，B两点．若 A是线段 FB 的中点，且 C是线段 AB 的中点，

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