2022年高三二轮复习讲练测之练案技巧03解答题狂练四（练）【解析版】（文科）-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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“5+2”解答题狂练（四）

分数：70 分时间：60 分

1．在中，内角所对的边分别为，已知

（1）求角的大小；

（2）已知，的面积为 6，求边长的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由二倍角的余弦公式把降次，再用两

个角的和的余弦公式求，由三角形三内角和定理可求得，从而求得角；

（2）根据三角形的面积公式求出边，再由余弦定理求边.

【详解】试题分析：

（1）由已知得，

化简得，

故，所以，

因为，所以 .

（2）因为，由，，，所以，

由余弦定理得，所以 .

【点睛】

本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题.

2．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行

调查，通过抽样，获得某年 100 为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照

分成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图的的值；

（2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数，说明理由；

（3）估计居民月用水量的中位数.

【答案】(1) ； (2)36000；（3）.

【解析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析

问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率

之和为 1，计算出 a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不

低于 3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前 5组

的频率之和与前 4组的频率之和进行比较，得出 2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.

【详解】

（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为 0.08×0.5=0.04.

同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分

别为 0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.

由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，

解得 a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ）100 位居民月均用水量不低于 3吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3吨的人数为 300

000×0.12=36000.

（Ⅲ）设中位数为 x吨.

因为前 5组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，

而前 4组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5

所以 2≤x<2.5.

由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得 x=2.04.

故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨.

【考点】

频率分布直方图

【名师点睛】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、

解决问题的能力.在频率分布直方图中，第 n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩

形的面积之和为 1，这是解题的关键，也是识图的基础．

3．如图 2，四边形为矩形，平面，，，作如

图3折叠，折痕 .其中点、分别在线段、上，沿折叠后点在线

段上的点记为，并且 .

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）要证 CF⊥平面 MDF，只需证 CF⊥MD，且 CF⊥MF 即可；由

PD⊥平面 ABCD，得出平面 PCD⊥平面 ABCD，即证 MD⊥平面 PCD，得 CF⊥MD；

（2）求出△CDE 的面积 S△CDE，对应三棱锥的高 MD，计算它的体积 VM-CDE．

试题解析：（1）证明：∵PD⊥平面 ABCD，PD⊂平面 PCD，

∴平面 PCD⊥平面 ABCD；

又平面 PCD∩平面 ABCD=CD，MD⊂平面 ABCD，MD⊥CD，

∴MD⊥平面 PCD，CF⊂平面 PCD，∴CF⊥MD；

又CF⊥MF，MD、MF⊂平面 MDF，MD∩MF=M，

∴CF⊥平面 MDF；

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