2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第27讲 探索性问题（原卷版）

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第27 讲 探索性问题
一、解答题
1． 已 知
F1, F2
分别为椭圆
C
：
2 2
2 2 1
x y
a b
 
（
a>b>0
）的左、右焦点, 且离心率为
√
2
2
， 点
)
2
3
,
2
2
(A
椭圆
C
上
（1）求椭圆
的方程；
（2）是否存在斜率为
k
的直线
l
与椭圆
C
交于不同的两点
M , N
，使直线
MF
2
与
NF
2
的倾斜角互补，且
直线
l
是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.
2．椭圆上顶点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点，且焦距为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线 交椭圆于 ， 两点，判断是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
3．已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆 交于 两点的直线 ： ，使得 成
立？若存在，求出实数 的取值范围，若不存在，请说明理由.
4．已知 为椭圆 C的左、右焦点，且点 在椭圆 C上.
（1）求椭圆 C的方程；
（2）过 的直线 交椭圆 C于A，B两点，则 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最
大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
5．（本小题共 13 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆
x2+y2−12 x+32=0
的圆心为
Q
，过点
P(0，2)
且斜率为
k
的直线
l
与圆
Q
相交于不同的两点
A，B
．
（Ⅰ）求圆
Q
的面积；
（Ⅱ）求
k
的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数
k
，使得向量
⃗
OA +
⃗
OB
与
⃗
PQ
共线？如果存在，求
k
的值；如果不存在，请说
明理由．
6．已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，长轴长为 ，离心率为 ，经过其左焦点 的直
线 交椭圆 于 两点
（I）求椭圆 的方程；
（II）在 轴上是否存在一点 ，使得 恒为常数？若存在，求出 点的坐标和这个常数；若不
存在，说明理由.
7．已知中心在坐标原点 O的椭圆 C经过点 A（ ），且点 F（ ，0）为其右焦点．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）是否存在直线 l与椭圆 C交于 B，D两点，满足 ，且原点到直线 l的距离为 ？若存
在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由.
8．（本小题 12 分）已知如图，圆
N:(x+2)2+y2=8
和抛物线
C:y2=2x
，圆的切线
l
与抛物线
C
交于
不同的点
A
，
B
.
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