2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第27讲 探索性问题（解析版）

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第27 讲 探索性问题
一、解答题
1． 已 知
F1, F2
分别为椭圆
C
：
2 2
2 2 1
x y
a b
 
（
a>b>0
）的左、右焦点, 且离心率为
√
2
2
， 点
)
2
3
,
2
2
(A
椭圆
C
上
（1）求椭圆
的方程；
（2）是否存在斜率为
k
的直线
l
与椭圆
C
交于不同的两点
M , N
，使直线
MF
2
与
NF
2
的倾斜角互补，且
直线
l
是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）过定点
(
2,0
)
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出
a2,b2
的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：
第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可
由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元
二次方程.第三步：求解判别式
∇
：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设
条件求解问题中结论.
试 题 解 析 ： （ 1） 由 题 意 得
c
a=
√
2
2
，
(
−
√
2
2
)
2
a2+
(
√
3
2
)
2
b2=1
，
a2=b2+c2
， 联 立 得
a2=2, b2=1, c2=1
椭圆方程为 6分
（2）由题意,知直线
MN
存在斜率,其方程为
.mkxy
由
mkxy
y
x,1
2
2
2
消去
.0224)12(, 222 mkmxxky 得
△=（4km）2—4（2k2+1）（2m2—2）>0
设
),,(),,(
2211
yxNyxM
则
,
12
22
,
12
4
2
2
21
2
21
k
m
xx
k
km
xx
8分
又
1
,
1
2
2
1
1
22
x
mkx
k
x
mkx
k
NFMF
由已知直线
F2M
与
F2N
的倾斜角互补,
得
.0
11
,0
2
2
1
1
22
x
mkx
x
mkx
kk
NFMF
即
化简,得
02))((2
2121
mxxkmxkx
02
12
)(4
12
22
222
2
m
k
kmkm
k
m
k
整理得
.2km
10 分
直线
MN
的方程为
)2( xky
,
因此直线
MN
过定点,该定点的坐标为（2,0） 12 分
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合应用.
2．椭圆上顶点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点，且焦距为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线 交椭圆于 ， 两点，判断是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）存在，
【分析】
（1）根据椭圆的焦距为 ，离心率为 ，解得： ， ，故椭圆的标准方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ，代入到 得 ，设 ， ，
， ，由韦达定理得： ， ，因为 ， ， ，
， 可得：
代入整理可得 ，解得： ，即可求出直线方程.
【详解】
（1）设椭圆的标准方程为 ， ，焦距为 2，故
又 ， ， ， ．
故椭圆的标准方程为 ．
（2）设 ， ， ， ， 为 的垂心， ．
， ， ，
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