2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第26讲 外接圆问题（解析版）

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第26 讲 外接圆问题
一．解答题
1．已知抛物线 ， 是 的准线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别为 ， ．
（1）当 点在 轴上时，求切线 ， 的方程；
（2）设圆 是 的外接圆，当圆 的面积最小时，求圆 的方程．
【解答】解：（1）抛物线 ，准线 的方程 ，
点在 轴上，
，
设 ， ， ， ，且 ，
由 ，求导 ，
，
解得 ，
切线 的方程为 ，即 ，
同理可得切线 的方程为 ，
（2）如图：设点 ，
设过点 与抛物线 相切的直线方程为 ，
由
△．
，
即切线 ， 互相垂直．即 是直角三角形， 的外接圆直径为弦 ．
当圆 的面积最小时，即是 最短时，
，此时 垂直 轴， 的外接圆圆心为 ，
圆的方程为 ．
2．已知定点 ，定直线 ，动圆 过点 ，且与直线 相切．
（Ⅰ）求动圆 的圆心轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线与曲线 相交于 ， 两点，分别过点 ， 作曲线 的切线 ， ，两条切线相交
于点 ，求 外接圆面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设点 到直线 的距离为 ，依题意 ．
设 ，则有 ．
化简得 ．
所以点 的轨迹 的方程为 ．
（Ⅱ）设 ，
代入 中，得 ．
设 ， ， ， ，
则 ， ．
所以 ．
因为 ，即 ，所以 ．
所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
因为 ，
所以 ，即 为直角三角形．
所以 的外接圆的圆心为线段 的中点，线段 是直径．
因为 ，
所以当 时线段 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 ．
3．已知椭圆 的两个焦点分别为 和 ， ， 、 是椭圆短轴的两
端点，过点 的直线 与椭圆相交于另一点 ，且
求椭圆的离心率；
设直线 上有一点 ， 在△ 的外接圆上，求 的值．
【解答】解：（Ⅰ） ，且 ，
是 和 的中点，
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