2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第24讲直径问题（原卷版）

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第24 讲直径问题

1．如图，，为椭圆长轴的左、右端点，为坐标原点，，，为椭圆上不

同于，的三点，直线，，，围成一个平行四边形，求 .

2．已知椭圆，为坐标原点，，是椭圆上两点，，的斜率存在并分别记为、

，且，求的最小值.

3．已知椭圆的离心率是，是坐标原点，点，分别为椭圆的左、右顶

点，为椭圆上异于，的点，直线，的斜率分别是，．

（Ⅰ）求证：为定值；

（Ⅱ）设直线交椭圆于，两点，，，且的面积是，求椭圆的标

准方程．

4．如图，已知椭圆的离心率为，且过点，，为椭圆上一点，

过坐标原点作圆的两条切线分别交椭圆于点，，直线，的

斜率存在且不为零，分别记为，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：为定值；

（Ⅲ）请问的面积是否为定值？若是，请求出定值并证明；若不是，请说明理由．

5．在平面直角坐标系中，已知椭圆，其焦点到相应准线的距离为，离心

率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图所示，是椭圆上两点，且的面积，设射线，的斜率分别为，

① 求的值；

② 延长到，使得，且交椭圆于，求证：为定值．

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