2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第24讲 直径问题（解析版）

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第24 讲 直径问题
1．如图， ， 为椭圆 长轴的左、右端点， 为坐标原点， ， ， 为椭圆上不同于 ，
的三点，直线 ， ， ， 围成一个平行四边形 ，求 .
【解答】解：设 ， ， ， ， ， ， 斜率分别为 ， ，
则 ， 的斜率为 ， ，且 ，
所以 ，同理 ，
因此 ．
2．已知椭圆 ， 为坐标原点， ， 是椭圆上两点， ， 的斜率存在并分别记为 、
，且 ，求 的最小值
【解答】解：设 ， ， ， ， ， ， ， ，
由 ， 整 理 得 ： ， 即 ， 则
，
，
则 ， ，即 ， ，
， ，
则 ， ，当且仅当 ，即 ， 或
，
，当且仅当 ，即 ， 或 ，
综上可知： 的最小值 ，
故选： ．
3．已知椭圆 的离心率是 ， 是坐标原点，点 ， 分别为椭圆 的左、右顶
点， 为椭圆 上异于 ， 的点，直线 ， 的斜率分别是 ， ．
（Ⅰ）求证： 为定值；
（Ⅱ）设直线 交椭圆 于 ， 两点， ， ，且 的面积是 ，求椭圆 的标
准方程．
【解答】 证明： ， ， ， ．可得 ．
设 ， ．则 ，可得： ．
．
解：由题意可得： 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ，
联立 ，化为： ．
△ ．
设 ， ， ， ，
， ．
， ，
，即 ．
， ．
．
化为： ，△ ．
．
点 到直线 的距离 ．
的面积 ，
解得 ．
．
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