2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第23讲齐次化处理（原卷版）

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第23 讲齐次化处理

一、解答题

1．如图，设点 A和B为抛物线 y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知 OA⊥OB，OM⊥AB．求点

M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

2．已知椭圆 C: 的焦点是、，且椭圆经过点。

（1）求椭圆 C的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线 l恒过定点．

3．圆的切线与 x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P

（如图），双曲线过点 P且离心率为 .

（1）求的方程；

（2）椭圆过点 P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于 A，B两点，若以线段 AB 为

直径的圆心过点 P，求的方程.

4．（2015•山西四模）分别过椭圆 E：=1（a＞b＞0）左、右焦点 F1、F2的动直线 l1、l2相交于 P点，

与椭圆 E分别交于 A、B与C、D不同四点，直线 OA、OB、OC、OD 的斜率分别为 k1、k2、k3、k4，且满

足k1+k2=k3+k4，已知当 l1与x轴重合时，|AB|=2 ，|CD|= ．

（1）求椭圆 E的方程；

（2）是否存在定点 M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出 M、N点坐标，若不存在，说明理由．

5．已知椭圆 C：（a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中

恰有三点在椭圆 C上.

（Ⅰ）求 C的方程；

（Ⅱ）设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A，B两点.若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为–1，证明：l过

定点.

6．已知点 P是椭圆 C:上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，

（1）求椭圆 C的标准方程;

（2）设直线 l不经过 P点且与椭圆 C相交于 A，B两点.若直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为 1，问:直线 l是

否过定点?证明你的结论

7．如图，椭圆经过点，且离心率为．

（1）求椭圆 E的方程；

（2）若经过点，且斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 P，Q（均异于点 A），证明：直线 AP

与AQ 的斜率之和为定值．

8．已知椭圆方程为，射线（x≥0）与椭圆的交点为 M，过 M作倾斜角互补的两条直

线，分别与椭圆交于 A、B两点（异于 M）．

（1）求证直线 AB 的斜率为定值；

（2）求△AMB 面积的最大值．

9．已知椭圆两焦点分别为 F1、F2、P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过

P作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B两点

（1）求 P点坐标；

（2）求证直线 AB 的斜率为定值；

（3）求△PAB 面积的最大值．

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