2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第23讲 齐次化处理（解析版）

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第23 讲 齐次化处理
一、解答题
1．如图，设点 A和B为抛物线 y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知 OA⊥OB，OM⊥AB．求点
M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
【答案】M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点．
【解析】
试题分析：由 OA⊥OB 可得 A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由 OM⊥AB 可用斜率处理，
得到 M的坐标和 A、B坐标的联系，再注意到 M在AB 上，由以上关系即可得到 M点的轨迹方程；此题
还可以考虑设出直线 AB 的方程解决．
解：如图，点 A，B在抛物线 y2=4px 上，
设 ，OA、OB 的斜率分别为 kOA、kOB．
∴
由OA⊥AB，得 ①
依点 A在AB 上，得直线 AB 方程
②
由OM⊥AB，得直线 OM 方程 ③
设点 M（x，y），则 x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以 ，
并利用③式，可得 ﹣ •（﹣ ）+ = x﹣2+，
整理得 ④
由③、④两式得
由①式知，yAyB= 16p﹣2
∴x2+y24px=0﹣
因为 A、B是原点以外的两点，所以 x＞0
所以 M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点．
考点：轨迹方程；抛物线的应用．
2．已知椭圆 C: 的焦点是 、 ，且椭圆经过点 。
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆右顶点 ，求证：直线 l恒过定点．
【答案】（1） （2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）设出椭圆方程，由题意可得 ，再由椭圆的定义可得 2a=4，解得 a=2，b=1，进
而得到椭圆方程；（2）由题意可知，直线 l的斜率为 0时，不合题意．不妨设直线 l的方程为 x=ky+m，代
入椭圆方程，消去 x，运用韦达定理和由题意可得 MA⊥MB，向量垂直的条件：数量积为 0，化简整理，
可得
或m=2，即可得到定点
试题解析：（1）椭圆 的方程为
，
所以所求椭圆 的方程为
（2）方法一（1）由题意可知，直线
l
的斜率为 0时，不合题意.
（2）不妨设直线
l
的方程为
x ky m 
．
由
2
2
,
1
4
x ky m
xy
 
 
消去
x
得
2 2 2
( 4) 2 4 0k y kmy m  
.
设
1 1
( , )A x y
，
，则有
1 2 2
2
4
km
y y k
 
……①,
2
1 2 2
4
4
m
y y k
………②
因为以
AB
为直径的圆过点
M
，所以
0MA MB 
              
．
由
1 1 2 2
( 2, ), ( 2, )MA x y MB x y 
              
，得
1 2 1 2
( 2)( 2) 0x x y y  
．
将
1 1 2 2
,x ky m x ky m 
代入上式，
得
2 2
1 2 1 2
( 1) ( 2)( ) ( 2) 0k y y k m y y m  
. ……… ③
将①②代入③，得
2
2
5 16 12 0
4
m m
k
 
，解得
6
5
m
或
2m
（舍）．
综上，直线
l
经过定点
6
( ,0).
5
方法二证明：(1) 当
k
不存在时，易得此直线恒过点
6
( ,0)
5
.
（2）当
k
存在时.设直线
l
y kx m 
的方程为
，
1 1 2 2
( , ), ( , )A x y B x y
，
.
由
2
2
1
4
xy
y kx m
 
 
，可得
2 2 2
(4 1) 8 4 12 0k x kmx m  
.
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