2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第22讲 等角问题（解析版）

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第22 讲 等角问题
一、解答题
1．设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
【答案】（1） 的方程为 或 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先根据 与 轴垂直，且过点 ，求得直线 的方程为 ，代入椭圆方程求得点 的坐标
为 或 ，利用两点式求得直线 的方程；
（2）分直线 与 轴重合、 与 轴垂直、 与 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也
比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.
【详解】
（1）由已知得 ，l的方程为 .
由已知可得，点 的坐标为 或 .
所以 的方程为 或 .
（2）当 与 轴重合时， .
当 与 轴垂直时， 为 的垂直平分线，所以 .
当 与 轴不重合也不垂直时，设 的方程为 ， ，
则 ，直线 、 的斜率之和为 .
由 得 .
将 代入 得 .
所以， .
则.
从而 ，故 、 的倾斜角互补，所以 .
综上， .
【点睛】
该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、
关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要
注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与
曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结
论.
2．如图,已知椭圆 :（ ）的离心率 ,短轴右端点为 ,为线段 的中
点.
（Ⅰ）求椭圆 的方程;
（Ⅱ）过点 任作一条直线与椭圆 相交于两点 ,试探究在 轴上是否存在定点 ,使得
,若存在,求出点 坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1) （2）在 轴上存在定点 ,使得 .
【详解】
试题分析：（1）由中点坐标公式可得 ，即得 ，再根据离心率 ，解得
，（2）， 等价于 ，.设 ， ， ，
利用斜率公式及直线方程 ，化简得 ，即
，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得
，即得 .
试题解析：解：(Ⅰ)由已知 ，又 ，即 ，得 ，
所以椭圆方程为 .
(Ⅱ)假设存在点 满足题设条件.
当 ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有 ，即 ；
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