2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第21讲一类中点连线过定点问题（解析版）

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第21 讲一类中点连线过定点问题

一、解答题

1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之

和等于．

（1）求动点的轨迹方程；

（2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于

点、，、的中点分别为、；

① 证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．

② 求四边形面积的最小值．

【答案】（1）；（2）①证明见解析，定点坐标为；② .

【分析】

（1）设点的坐标为，根据已知条件得出，结合椭

圆的定义可知点的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆的焦点位置可得出点的轨迹方程，并

求出的取值范围；

（2）①分析出直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，可得出直线的

方程为，设点、，将直线的方程与点的轨迹方程联立，求出点

的坐标，同理求出点的坐标，求出直线的方程，进而可得出直线所过定点的坐标；

② 求得、，利用基本不等式可求得四边形面积的最小值．

【详解】

（1）设点，依题意，

，

所以动点的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则，，，

动点的轨迹方程是；

（2）①若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；

若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；

设直线的方程为，则直线的方程为，

直线、均过椭圆的焦点（椭圆内一点），、与椭圆必有交点．

设、，由，

由韦达定理可得，则，

所以点的坐标为，同理可得点，

直线的斜率为，

直线的方程是，

即，

当时，直线的方程为，直线过定点．

综上，直线过定点；

② 由①可得，，

，

同理可得，

所以，四边形的面积为，

当且仅当取等号．

因此，四边形的面积的最小值为 .

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函

数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

2．在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为 4，设动圆圆心的轨迹为曲线

．

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