2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第20讲 圆过定点问题（解析版）
第20 讲 圆过定点问题
一、解答题
1．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆上的点到右焦点 的最近距离为 ，若椭圆
与 轴交于 两点， 是椭圆 上异于 的任意一点，直线 交直线 于 点，直线
交直线 于 点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）试探求以 为直径的圆是否恒经过 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明
理由．
【答案】（Ⅰ）由题意得
.
椭圆 的方程为：
（Ⅱ）记直线 、 的斜率分别为 、 ，设 的坐标分别为 , , ，
.
在椭圆上，所以 ， ，
设 ，则 ， .
，又 .
.
因为 的中点为 ， ,所以，以 为直径的圆的方程为：
.
令 ，得 ，
，将两点 代入检验恒成立.
所以，以 为直径的圆恒过 轴上的定点
【分析】
(1)根据题意，列出方程组 ，求解即可得出结果；
(2)先记直线 、 的斜率分别为 、 ，设 的坐标分别为 ， ，
，表示出 ，根据 在椭圆上，得到 ，进而可得 ，再设
， 可得 ，由 的中点为 ， ，得到以
为直径的圆的方程，进而可得出结果.
【详解】
（1）由题意得：
，
椭圆 的方程为：
（2）记直线 、 的斜率分别为 、 ，设 的坐标分别为 ， ，
，所以 ， .
因为 在椭圆上，所以 ，所以 ， ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，又 .
.
因为 的中点为 ， ，
所以，以 为直径的圆的方程为： .
令 ，得 ，
所以
将两点 代入检验恒成立.
所以，以 为直径的圆恒过 轴上的定点
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