2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第19讲 共线向量问题（解析版）

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第19 讲 共线向量问题
一、解答题
1．已知抛物线 C：=2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l与抛物线 C有两个不同的交点
A，B，且直线 PA 交y轴于 M，直线 PB 交y轴于 N．
（Ⅰ）求直线 l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设 O为原点， ， ，求证： 为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【详解】
分析：（1）先确定 p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线 l的斜率的取值范围，最
后根据 PA，PB 与y轴相交，舍去 k=3，（2）先设 A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定
理可得 ， ．再由 ， 得 ， ．利用
直线 PA
，
PB 的方程分别得点 M
，
N的纵坐标，代入化简 可得结论.
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2），
所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x．
由题意可知直线 l的斜率存在且不为 0，
设直线 l的方程为 y=kx+1（k≠0）．
由 得 ．
依题意 ，解得 k<0 或0<k<1．
又PA，PB 与y轴相交，故直线 l不过点（1，-2）．从而 k≠-3．
所以直线 l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（I）知 ， ．
直线 PA 的方程为 ．
令x=0，得点 M的纵坐标为 ．
同理得点 N的纵坐标为 ．
由 ， 得 ， ．
所以 ．
所以 为定值．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该
问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求
定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显
现.
2．如图，已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 、
.
（1）求直线 的斜率的取值范围；
（2）设 为原点，直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ， ， ，求证：
为定值.
【答案】（1） ；（2） 为定值 2，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）将点 P代入抛物线方程，即可求得 p的值，设直线 AB 的方程，代入抛物线方程，由△＞0，排除特
殊情况，即可求得 k的取值范围；
（2）根据向量的共线定理即可求得 λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN，求得直线 PA 的方程，令 x＝0，求得 M点坐标，
同理求得 N点坐标，根据韦达定理和向量的坐标表示，即可求得 λ+μ 为定值．
【详解】
（1）抛物线 C：y2＝2px 经过点 P（1，2），∴4＝2p，解得 p＝2，
根据题意得过点（0，1）的直线斜率存在，设方程为 y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）；
联立方程， ，可得 k2x2+（2k4﹣）x+1＝0，
∴△＝（2k4﹣）24﹣k2＞0，且 k≠0 解得 k＜1，
故直线 l的斜率的取值范围（﹣∞，0）∪（0，1）；
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