2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第18讲角度、数量积定值问题（原卷版）

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第18 讲角度、数量积定值问题

一、解答题

1．已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆

的左、右焦点，且．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段

的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求

的大小．

2．已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆

经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．

（）求圆和椭圆的方程．

（）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直

线，分别与轴交于点，．求证：为定值．

3．已知椭圆

C:x2

a2+y2

b2=1(a>b>0)

上的点到两个焦点的距离之和为

，短轴长为

，直线与椭圆

交于、两点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与圆

O:x2+y2=1

相切，证明：

∠MON

为定值．

4．已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于

两点，点为椭圆的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；

（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；

（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．

5．已知点 F1为椭圆的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴．

（1）求椭圆的方程：

（2）已知直线 l与椭圆交于 A，B两点，且坐标原点 O到直线 l的距离为的大小是否为定值？

若是，求出该定值：若不是，请说明理由．

6．如图，点 M在椭圆 1（0＜b）上，且位于第一象限，F1，F2为椭圆的两个焦点，过

F1，F2，M的圆与 y轴交于点 P，Q（P在Q的上方），|OP|•|OQ|＝1．

（Ⅰ）求 b的值；

（Ⅱ）直线 PM 与直线 x＝2交于点 N，试问，在 x轴上是否存在定点 T，使得 • 为定值？若存在，

求出点 T的坐标与该定值；若不存在，请说明理由．

7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：的离心率为，且过点，

过椭圆的左顶点 A作直线轴，点 M为直线上的动点，点 B为椭圆右顶点，直线 BM 交椭圆 C于P

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