2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第18讲 角度、数量积定值问题（解析版）

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第18 讲 角度、数量积定值问题
一、解答题
1．已知椭圆 ： 的上下顶点分别为 ，且点 ． 分别为椭圆
的左、右焦点，且 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）点 是椭圆上异于 ， 的任意一点，过点 作 轴于 ， 为线段
的中点．直线 与直线 交于点 ， 为线段 的中点， 为坐标原点．求
的大小．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由顶点坐标得 再在 中利用椭圆几何条件得 ．（2）利用向量数量积
研究 的大小．先设 ，则得 ．求出直线 与直线 交点 ，得
．再根据向量数量积得 ，根据
代入化简得 ，即得 ．
试题解析：解：(Ⅰ)依题意，得 ．又 ，
在 中， ，所以 ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
(Ⅱ)设 ， ，则 ， ．
因为点 在椭圆 上，所以 ．即 ．
又 ，所以直线 的方程为 ．
令 ，得 ．
又 ， 为线段 的中点，所以 ．
所以 ， ．
因为
，
所以 ． ．
2．已知椭圆 上的点到它的两个焦的距离之和为 ，以椭圆 的短轴为直径的圆
经过这两个焦点，点 ， 分别是椭圆 的左、右顶点．
（ ）求圆 和椭圆 的方程．
（ ）已知 ， 分别是椭圆 和圆 上的动点（ ， 位于 轴两侧），且直线 与 轴平行，直
线 ， 分别与 轴交于点 ， ．求证： 为定值．
【答案】（ ） ； ；（ ）见解析．
【解析】
试题分析：
（1）根据椭圆定义知 ，又 ，因此易求得 ，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；
（2）设出 ， ，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线 AP 的方程，
求出 M点坐标，同理写出 BP 方程，求出 N点坐标，再求得向量 ，并计算数量积 ，结
果为 0，可得 ．
试题解析：
（ ）依题意 ，得 ， ，
∴圆方程 ，椭圆 方程 ．
（ ）设 ， ，
∴ ， ， ，
∵ 方程 ，令 时， ，
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