2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第17讲 斜率定值问题（原卷版）

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第16 讲 斜率定值问题
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的右焦点为
F(1，0)
，离心率为
❑
√
2
2
．分
别过
O
，
F
的两条弦
AB
，
相交于点
E
（异于
A
，
C
两点），且
OE=EF
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线
AC
，
BD
的斜率之和为定值．
2．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 E： ＋ ＝1的离心率为 ，直线 l：y= x 与
椭圆 E相交于 A，B两点，AB= ，C，D是椭圆 E上异于 A，B两点，且直线 AC，BD 相交于点 M，
直线 AD，BC 相交于点 N．
（1）求 a，b的值；
（2）求证：直线 MN 的斜率为定值．
3．已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点 ．
Ⅰ 求椭圆 C的方程；
Ⅱ 若 是椭圆 C上的两个动点，且使 的角平分线总垂直于 x轴，试判断直线 PQ 的斜率是
否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
4．已知直线 l经过椭圆 的左焦点和下顶点，坐标原点 O到直线 l的距离为 .
（1）求椭圆 C的离心率；
（2）若椭圆 C经过点 ，点 A，B是椭圆 C上的两个动点，且 的角平分线总是垂直于 y轴，
试问：直线 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
5．已知椭圆 （ ）的离心率为 ， 、 是椭圆 C的左、右焦点，P是椭圆 C
上的一个动点，且 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）若 Q是椭圆 C上的一个动点，点 M，N在椭圆 上，O为原点，点 Q，M，N满足
，则直线 OM 与直线 ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明
理由．
6．已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程;
（2）设动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 为圆心的圆，满足此圆与 相交两
点 ， （两点均不在坐标轴上），且使得直线 ， 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程
与定值；若不存在，请说明理由．
7．已知圆 F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3)，圆 F2：(x-1)2+y2=(4-r)2．
（1）证明：圆 F1与圆 F2有公共点，并求公共点的轨迹 E的方程；
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