2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第17讲 斜率定值问题（解析版）

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第16 讲 斜率定值问题
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的右焦点为
F(1，0)
，离心率为
❑
√
2
2
．分
别过
O
，
F
的两条弦
AB
，
相交于点
E
（异于
A
，
C
两点），且
OE=EF
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线
AC
，
BD
的斜率之和为定值．
【答案】(1)
x2
2+y2=1
;(2)详见解析.
【解析】
试题分析：（1）解：由题意，得
c=1
，
e=c
a=❑
√
2
2
，故
a=❑
√
2
，
从而
b2=a2−c2=1
，
所以椭圆的方程为
x2
2+y2=1
． ① 5分
（2）证明：设直线
AB
的方程为
y=kx
， ②
直线
的方程为
y=−k(x−1)
， ③ 7分
由①②得，点
A
，
B
的横坐标为
±❑
√
2
2k2+1
，
由①③得，点
C
，
D
的横坐标为
2k2±❑
√
2(k2+1)
2k2+1
， 9分
记
A(x1，k x1)
，
B(x2，k x2)
，
C(x3，k(1−x3))
，
D(x4，k(1−x4))
，
则直线
AC
，
BD
的斜率之和为
k x1−k(1−x3)
x1−x3
+k x2−k(1−x4)
x2−x4
¿k⋅(x1+x3−1)(x2−x4)+(x1−x3)(x2+x4−1)
(x1−x3)(x2−x4)
¿k⋅2(x1x2−x3x4)−(x1+x2)+(x3+x4)
(x1−x3)(x2−x4)
13 分
¿k⋅
2(−2
2k2+1−2(k2−1)
2k2+1)−0+4k2
2k2+1
(x1−x3)(x2−x4)
¿0
． 16 分
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
2．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 E： ＋ ＝1的离心率为 ，直线 l：y= x 与
椭圆 E相交于 A，B两点，AB= ，C，D是椭圆 E上异于 A，B两点，且直线 AC，BD 相交于点 M，
直线 AD，BC 相交于点 N．
（1）求 a，b的值；
（2）求证：直线 MN 的斜率为定值．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）由已知条件可得 的值，进而得 的关系，再利用 与椭圆 相交于 ， 两
点， ，可得 ；（2）斜率存在时设出直线 ， 的斜率分别为 ， ， ，
利用 ，表示 的斜率，利用直线相交分别求 的坐标，再利用斜率公式求 ，运算
化简含 式子，得出结果 ，最后再考虑斜率不存在情况亦成立．
试题解析：（1）因为 e= = ，所以 c2= a2，即 a2b﹣2= a2，所以 a2=2b2；
故椭圆方程为 + =1；由题意，不妨设点 A在第一象限，点 B在第三象限，
由 解得 A（b，b）；又 AB=4 ，所以 OA=2 ，即 b2+ b2=20，解得 b2=12；
故=2 ，=2 ；
（2）由（1）知，椭圆 E的方程为 ，从而 A（4，2），B（﹣4，﹣2）；
①当CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，设直线 CA，DA 的斜率分别为 k1，k2，C（x0，y0），
显然 k1≠k2； 所以 kCB=﹣； 同理 kDB=﹣，
于是直线 AD 的方程为 y 2=k﹣2（x 4﹣），直线 BC 的方程为 y+2=﹣（x+4）；
从而点 N的坐标为 ；
用k2代k1，k1代k2得点 M的坐标为 ；
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