2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第16讲面积定值问题（原卷版）

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第16 讲面积定值问题

一、解答题

1．已知椭圆的离心率 e满足，右顶点为 A，上顶点为 B，

点C(0，－2)，过点 C作一条与 y轴不重合的直线 l，直线 l交椭圆 E于P，Q两点，直线 BP，BQ 分别交 x

轴于点 M，N；当直线 l经过点 A时，l的斜率为．

(1)求椭圆 E的方程；

(2)证明：为定值．

2．已知椭圆 C：1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点 A，B分别为椭圆 C的左右

顶点，|AB|＝4．

（1）求椭圆 C的标准方程．

（2）若 P是椭圆 C上异于 A，B的一点，直线 l交椭圆 C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN

的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．

3．已知椭圆 C：（）的离心率为，直线与椭圆 C有且只有一个

公共点．

（1）求椭圆 C的标准方程

（2）设点，，P为椭圆 C上一点，且直线与的斜率乘积为，点 M，N是

椭圆 C上不同于 A，B的两点，且满足，，求证：的面积为定值．

4．如图，椭圆 C：的离心率，椭圆 C的左、右顶点分别为 A，B，又

P，M，N为椭圆 C上非顶点的三点．设直线，的斜率分别为，．

（1）求椭圆 C的方程，并求的值；

（2）若，，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，

请说明理由．

5．如图，、为椭圆的左、右焦点，、是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率

，．若在椭圆上，则点称为点的一个“好点”．直

线与椭圆交于、两点，、两点的“好点”分别为、，已知以为直径的圆经过坐标

原点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

6．已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为 .

（1）求椭圆的方程；

（2）若，为椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，当时，

的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.

7．已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右支上一动点到

两条渐近线，的距离之积为．

（1）求双曲线的方程；

（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标

原点，证明：面积为定值，并求出该定值．

8．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，

且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是

和.

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