2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第15讲 长度定值问题（解析版）

3.0 envi 2025-03-07 4 4 1.04MB 31 页 3知币
侵权投诉
第15 讲 长度定值问题
一、解答题
1．已知椭圆： ，过坐标原点 O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于 A，B两点．
（1）求证：O到直线 AB 的距离为定值．
（2）求 0AB 面积的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），若 k存在，则设直线 AB：y＝kx+m，联立椭圆方程，由 OA⊥OB，
得x1x2+y1y2＝0，化简整理，再由点到直线的距离，即可得到定值；若 AB 的斜率不存在时，显然成立；
（2）运用弦长公式，化简整理，再由基本不等式，即可得到最大值，当斜率不存在时，经检验|AB|＜2也
成立即可．
【详解】
（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），
若AB 的斜率 k存在，则设直线 AB：y＝kx+m．由 ，得（1+3k2）x2+6kmx+3m23﹣＝0，
则x1+x2＝﹣ ，①
由OA⊥OB，得 x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，
将①代入，得 4m2＝3k2+3，即有 m2＝ （k2+1），则有原点到直线 AB 的距离 d＝ ＝ ，
当AB 的斜率不存在时，|x1|＝|y1|，可得|x1|＝ ＝d，依然成立．
所以点 O到直线 AB 的距离为定值 ．
（2）|AB|2＝（1+k2）（x1x﹣2）2＝（1+k2）[（ ）24×﹣]
＝ ＝3+ ＝
当且仅当 9k2＝ ，即 k＝ 时等号成立．
当AB 的斜率不存在时，经检验|AB|＜2．所以 S△OAB≤，
即有△OAB 面积的最大值为 ．
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的
距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．
2．已知直线 l的方程为 x＝﹣2，且直线 l与x轴交于点 M，圆 O： 与 x轴交于 A，B两点（如
图）．
（1）过 M点的直线 l1交圆于 P、Q两点，且 O点到直线 l1的距离为 ，求直线 l1的方程；
（2）求以 l为准线，中心在原点，且短轴长为圆 O的半径的椭圆方程；
（3）过 M点的圆的切线 l2，交（2）中的一个椭圆于 C、D两点，其中 C、D两点在 x轴上方，求线段 CD
的长．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）可设直线 l1的方程为 y＝k（x+2），由点到直线的距离公式可得 k的方程，解方程可得；
（2）设椭圆的方程为 1（a＞b＞0），易得 a＝1或b＝1，分别可得 b和a值，可得方程；
（3）可设直线 l2的方程为 y（x+2）和椭圆联立可得 5x2+8x+2＝0，由弦长公式可得．
【详解】
（1）∵ 点到直线 的距离为 .
设 的方程为 ，∴ ，∴ .
∴ 的方程为 .
（2）设椭圆方程为 ，半焦距为 ，则 .
， ，∴ .∴所求椭圆方程为 .
（3）设切点为 ，则由题意得，椭圆方程为 ，
在 中， ， ，则 ，
∴ 的方程为 ，代入椭圆 中，整理得 .
设 ， ，则 ， .
∴.
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的
方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用
2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第15讲 长度定值问题（解析版）.docx

共31页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：31 页 大小：1.04MB 格式：DOCX 时间：2025-03-07

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 31
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注