2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第14讲 极点极线问题（原卷版）

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第14 讲 极点极线问题
一、解答题
1．已知椭圆 M： （a＞b＞0）过 A（－2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆 M的离心率；
（2）设椭圆 M的右顶点为 C，点 P在椭圆 M上（P不与椭圆 M的顶点重合），直线 AB 与直线 CP 交于点
Q，直线 BP 交x轴于点 S，求证：直线 SQ 过定点．
2．若双曲线 与椭圆 共顶点，且它们的离心率之积为 ．
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）若椭圆 C的左、右顶点分别为 ， ，直线 l与椭圆 C交于 P
、
Q两点，设直线 与 的斜率
分别为 ， ，且 ．试问，直线 l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理
由．
3．如图，椭圆 E： 的离心率是 ，过点 P（0,1）的动直线 与椭圆相交于 A，B
两点，当直线 平行与 轴时，直线 被椭圆 E截得的线段长为 .
（1）求椭圆 E的方程；
（2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 P不同的定点 Q，使得 恒成立？若存在，求出
点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
4．在平面直角坐标系 中，如图所示，已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点为 .
设过点 的直线 ， 与此椭圆分别交于点 ， ，其中 ， ，
．
y
x
F
O
B
A
（Ⅰ）设动点 满足： ，求点 的轨迹；
（Ⅱ）设 ，求点 的坐标；
（Ⅲ）设 ，求证：直线 必过 轴上的一定点（其坐标与 无关），并求 出 该定点的坐标．
5．已知 A、B分别为椭圆 E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直
线x=6 上的动点，PA 与E的另一交点为 C，PB 与E的另一交点为 D
．
（1）求 E的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点.
6．已知椭圆 ： 的左焦点为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 ， 分别为椭圆 的左、右顶点， 为直线 上任意一点，直线 ， 分别交椭圆
于不同的两点 ， .求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标.
7．设椭圆 过点 ，且左焦点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）当过点 的动直线 与椭圆 相交于两不同点 ， 时，在线段 上取点 ，且满足
，证明：点 总在某定直线上．
8．
设 ，点 的坐标为（1,1），点 在抛物线 上运动，点 满足 ，经过 点与
轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 ,求点 的轨迹方程．
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