2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第14讲 极点极线问题（解析版）

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第14 讲 极点极线问题
一、解答题
1．已知椭圆 M： （a＞b＞0）过 A（－2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆 M的离心率；
（2）设椭圆 M的右顶点为 C，点 P在椭圆 M上（P不与椭圆 M的顶点重合），直线 AB 与直线 CP 交于点
Q，直线 BP 交x轴于点 S，求证：直线 SQ 过定点．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由已知两点坐标得 ，求得 后可得离心率；
（2）直线 方程为 ，设 （ ， ）， ， ．由
三点共线求得 点坐标（用 点坐标表示），由 共线求得 点坐标（用 点坐标表示），
写出直线 的方程，把 代入化简对方程变形可得定点坐标．
【详解】
解：（1）因为点 ， 都在椭圆 上，
所以 ， ．
所以 ．
所以椭圆 的离心率 ．
（2）由（1）知椭圆 的方程为 ， ．
由题意知：直线 的方程为 ．
设 （ ， ）， ， ．
因为 三点共线，所以有 ， ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
因为 三点共线，
所以 ，即 ．
所以 ．
所以直线 的方程为 ，
即 ．
又因为点 在椭圆 上，所以 ．
所以直线 的方程为 ．
所以直线 过定点 ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标
，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点 的坐标，得出直线 方程，再由 在椭圆上，
代入化简凑配出定点坐标．
2．若双曲线 与椭圆 共顶点，且它们的离心率之积为 ．
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）若椭圆 C的左、右顶点分别为 ， ，直线 l与椭圆 C交于 P
、
Q两点，设直线 与 的斜率
分别为 ， ，且 ．试问，直线 l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理
由．
【答案】（1） ；（2）直线 l恒过定点 ．.
【分析】
（1）待定系数法椭圆的标准方程；
（2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出 ，整理出直线过定点 .
【详解】
（1）由已知得双曲线的离心率为 ，又两曲线离心率之积为 ，所以椭圆的离心率为 ；
由题意知 ，所以 ， ．
所以椭圆的标准万程为 ．
（2）当直线 l的斜率为零时，由对称性可知：
，不满足 ，
故直线 l的斜率不为零．设直线 l的方程为 ，
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